如圖,四邊形ABCD為矩形,四邊形ADEF為梯形,AD//FE,∠AFE=60º,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,點G為AC的中點.
(Ⅰ)求證:EG//平面ABF;
(Ⅱ)求三棱錐B-AEG的體積;
(Ⅲ)試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直?若垂直,請證明;若不垂直,請說明理由.
(I)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)平面BAE⊥平面DCE.證明見解析.
解析試題分析:(I)取AB中點M,連FM,GM.由題設(shè)易得四邊形GMFE為平行四邊形,從而得EG∥平面ABF;(Ⅱ)顯然轉(zhuǎn)化為求三棱錐E-ABG的體積.注意到平面ABCD⊥平面AFED,故作EN⊥AD,垂足為N,則有EN⊥平面ABCD,即EN為三棱錐E-ABG的高.由此即可得其體積;(Ⅲ)為了判斷平面BAE、平面DCE是否垂直,首先看看在這兩個面中有哪些線是相互垂直的.由平面ABCD⊥平面AFED,四邊形ABCD為矩形可得,CD⊥平面AFED,從而 CD⊥AE.另外根據(jù)題中所給數(shù)據(jù),利用勾股定理可判斷ED⊥AE.由此可知,平面BAE⊥平面DCE.
試題解析:(I)證明:取AB中點M,連FM,GM.
∵G為對角線AC的中點,
∴GM∥AD,且GM=AD,
又∵FE∥AD,
∴GM∥FE且GM=FE.
∴四邊形GMFE為平行四邊形,即EG∥FM.
又∵平面ABF,平面ABF,
∴EG∥平面ABF. 4分
(Ⅱ)解:作EN⊥AD,垂足為N,
由平面ABCD⊥平面AFED ,面ABCD∩面AFED=AD,
得EN⊥平面ABCD,即EN為三棱錐E-ABG的高.
∵在△AEF中,AF=FE,∠AFE=60º,
∴△AEF是正三角形.
∴∠AEF=60º,
由EF//AD知∠EAD=60º,
∴EN=AE?sin60º=.
∴三棱錐B-AEG的體積為
. 8分
(Ⅲ)解:平面BAE⊥平面DCE.證明如下:
∵四邊形ABCD為矩形,且平面ABCD⊥平面AFED,
∴CD⊥平面AFED,
∴CD⊥AE.
∵四邊形AFED為梯形,F(xiàn)E∥AD,且,
∴.
又在△AED中,EA=2,AD=4,,
由余弦定理,得ED=.
∴EA2+ED2=AD2,
∴ED⊥AE.
又∵ED∩CD=D,
∴AE⊥平面DCE,
又面BAE,
∴平面BAE⊥平面DCE. 12分
考點:1、空間直線與平面的位置關(guān)系;2、幾何體的體積.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在體積為的圓錐中,已知的直徑,是的中點,是弦的中點.
(1)指出二面角的平面角,并求出它的大;
(2)求異面直線與所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,儲油灌的表面積為定值,它的上部是半球,下部是圓柱,半球的半徑等于圓柱底面半徑.
⑴試用半徑表示出儲油灌的容積,并寫出的范圍.
⑵當(dāng)圓柱高與半徑的比為多少時,儲油灌的容積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,圓柱的高為2,底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線,過作圓柱的截面交下底面于,四邊形ABCD是正方形.
(Ⅰ)求證;
(Ⅱ)求四棱錐E-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,點D是AB的中點.
(1)求證:BC1∥平面CA1D;
(2)求證:平面CA1D⊥平面AA1B1B;
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形,BB1= ,求三棱錐B1-A1DC的體積.
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已知四棱錐的三視圖如下圖所示,其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形,俯視圖是有一條對角線的正方形.是側(cè)棱上的動點.
(1)求證:;
(2)若為的中點,求直線與平面所成角的正弦值;
(3) 若四點在同一球面上,求該球的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示的三個圖中,上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖,它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出(單位:cm).
(1)按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;
(2)在所給直觀圖中連接BC′,求證:BC′∥面EFG.
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