如圖所示,ABCD是正方形,平面ABCD,E,F(xiàn)是AC,PC的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,求三棱錐的體積.
(1)證明過程詳見解析;(2).
解析試題分析:本題主要以四棱錐為幾何背景,考查線線平行、線線垂直、線面垂直、三棱錐的體積等數(shù)學(xué)知識(shí),考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f3/2/12s7q2.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形,所以對(duì)角線互相垂直,在中分別是中點(diǎn),利用中位線,得,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d5/7/1jp4q3.png" style="vertical-align:middle;" />平面,∴平面,∴垂直面內(nèi)的線,利用線面垂直的判斷,得平面,所以得證;第二問,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7d/a/ask8t1.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以顯然是三棱錐的高,在正方形中求出的邊長及面積,從而利用等體積法將轉(zhuǎn)化為,利用三棱錐的體積公式計(jì)算.
試題解析:(1)連接,
∵是正方形,是的中點(diǎn),
∴ 1分
又∵分別是的中點(diǎn)
∴ ∥ 2分
又∵平面, ∴平面, 3分
∵平面, ∴ 4分
又∵ ∴平面 5分
又∵平面
故 6分
(2)∵平面,∴是三棱錐的高,
∵是正方形,是的中點(diǎn),∴是等腰直角三角形 8分
,故, 10分
故 12分
考點(diǎn):1.中位線;2.線面垂直的判斷與性質(zhì);3.三棱錐的體積;4.等體積轉(zhuǎn)換.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8.
(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),證明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)當(dāng)M點(diǎn)位于線段PC什么位置時(shí),PA∥平面MBD?
(3)求四棱錐P-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在體積為的圓錐中,已知的直徑,是的中點(diǎn),是弦的中點(diǎn).
(1)指出二面角的平面角,并求出它的大;
(2)求異面直線與所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面,底面是平行四邊形,, 是 的中點(diǎn)。
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)若,求二面角 的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E為CD的中點(diǎn),將△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中垂足O在線段DE內(nèi).
(1)求證:CO⊥平面ABED;
(2)問∠CEO(記為θ)多大時(shí),三棱錐C-AOE的體積最大,最大值為多少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,儲(chǔ)油灌的表面積為定值,它的上部是半球,下部是圓柱,半球的半徑等于圓柱底面半徑.
⑴試用半徑表示出儲(chǔ)油灌的容積,并寫出的范圍.
⑵當(dāng)圓柱高與半徑的比為多少時(shí),儲(chǔ)油灌的容積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:BC1∥平面CA1D;
(2)求證:平面CA1D⊥平面AA1B1B;
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形,BB1= ,求三棱錐B1-A1DC的體積.
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