設(shè)橢圓()的左、右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切,求直線的斜率.
(1);(2)直線的斜率為或.
解析試題分析:(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由已知,可得,結(jié)合,可得,從而可求得橢圓的離心率;(2)在(1)的基礎(chǔ)上,可先利用及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo),再求出以線段為直徑的圓的方程(圓心坐標(biāo)和半徑),最后設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的與該圓相切的直線的方程為,由圓心到切線的距離等于半徑,列方程,解方程即可得求得直線的斜率.
(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.由,可得,又,則,∴橢圓的離心率.
(2)由(1)知,,故橢圓方程為.設(shè).由,,有,.由已知,有,即.又,故有 ①
又∵點(diǎn)在橢圓上,故 ②
由①和②可得.而點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn),故,代入①得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為,則,,進(jìn)而圓的半徑.設(shè)直線的斜率為,依題意,直線的方程為.由與圓相切,可得,即,整理得,解得.∴直線的斜率為或.
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì);2.直線和圓的方程;3.直線和圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).
(1)寫出直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
無論為任何實(shí)數(shù),直線與雙曲線恒有公共點(diǎn).
(1)求雙曲線的離心率的取值范圍;
(2)若直線過雙曲線的右焦點(diǎn),與雙曲線交于兩點(diǎn),并且滿足,求雙曲線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn),是上一點(diǎn)且與軸垂直,直線與的另一個交點(diǎn)為.
(1)若直線的斜率為,求的離心率;
(2)若直線在軸上的截距為,且,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,曲線由上半橢圓和部分拋物線連接而成,的公共點(diǎn)為,其中的離心率為.
(1)求的值;
(2)過點(diǎn)的直線與分別交于(均異于點(diǎn)),若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1,記點(diǎn)的軌跡為.
(1)求軌跡為的方程
(2)設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn),求直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn),兩個公共點(diǎn),三個公共點(diǎn)時的相應(yīng)取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知P是圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,0),線段NP的垂直平分線交直線MP于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動時,點(diǎn)Q的軌跡為C.
(1)求出軌跡C的方程,并討論曲線C的形狀;
(2)當(dāng)時,在x軸上是否存在一定點(diǎn)E,使得對曲線C的任意一條過E的弦AB,為定值?若存在,求出定點(diǎn)和定值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分,(1)小問4分,(2)小問8分)已知為橢圓上兩動點(diǎn),分別為其左右焦點(diǎn),直線過點(diǎn),且不垂直于軸,的周長為,且橢圓的短軸長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)為橢圓的左端點(diǎn),連接并延長交直線于點(diǎn).求證:直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的長軸長為,點(diǎn)、、為橢圓上的三個點(diǎn),為橢圓的右端點(diǎn),過中心,且,.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點(diǎn)(異于、),且滿足,試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系,并求證直線的斜率為定值.
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