Question

【題目】已知函數(shù)(，為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若，求函數(shù)的極值；

(2)若是函數(shù)的一個極值點，試求出關(guān)于的關(guān)系式(用表示)，并確定的單調(diào)區(qū)間；

(3)在(2)的條件下，設，函數(shù)．若存在使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】∴當時，函數(shù)有極大值，，

當時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為

當時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為

【解析】

解：（1）∵……1分

當時， 則 ---2分

令得，∵∴，解得---3分

∵當時，，當時，當時

（或列表）……4分

∴當時，函數(shù)有極大值，，

當時，函數(shù)有極小值，.----------5分

（2）由（1）知∵是函數(shù)的一個極值點 ∴即，解得------6分

則＝ K^S*5U.C#O%下標

令，得或

∵是極值點，∴，即--------------------------7分

當即時，由得或

由得-----------8分

當即時，由得或

由得--------9分

綜上可知：當時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為

當時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為----10分

（3）由（2）知，當a>0時，在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，K^S*5U.C#O%下標

∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又∵ ，，∴函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的值域是，即-------11分又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是----12分∵－＝＝，∴存在使得成立只須僅須

－<1 .--14分