【題目】如圖,在四棱錐中, , 平面 .

(1)設(shè)點的中點,求證: 平面;

(2)線段上是否存在一點,使得直線與平面所成的角的正弦值為?若存在,試確定點的位置;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)見解析(2)中點

【解析】試題分析:(1)先取的中點,利用三角形中位線性質(zhì)得,再根據(jù)線面平行判定定理得平面.根據(jù)計算,利用平幾知識得,再根據(jù)線面平行判定定理得平面.從而利用面面平行判定定理得平面平面.最后根據(jù)面面平行性質(zhì)得平面. (2)一般利用空間直角坐標系研究線面角,先根據(jù)條件建立恰當直角坐標系,設(shè)立各點坐標,利用方程組求出平面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求出向量夾角,最后利用線面角與向量夾角關(guān)系列方程,解出點坐標,確定其位置.

試題解析:(1)證明 取的中點,連接,則.

因為平面 平面,所以平面.

中, ,所以.

,所以.

因為平面, 平面,

所以平面.

又因為

所以平面平面.

因為平面,

所以平面.

(注:(1)問也可建系來證明)

(2)過,交,又平面知以為原點, 分別為軸建系如圖:

設(shè)平面PAC的法向量,

設(shè),則,

,∴

∴線段上存在一點 中點

練習冊系列答案
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【題目】【山東省實驗中學2017屆高三第一次診斷】已知橢圓的右焦點,過點且與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于,兩點當直線經(jīng)過橢圓的一個頂點時其傾斜角恰好為

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)為坐標原點線段上是否存在點,使得?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.

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【題目】設(shè)橢圓的右焦點為,離心率為,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若上存在兩點,橢圓上存在兩個點滿足: 三點共線, 三點共線且,求四邊形的面積的最小值.

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(Ⅰ) 若的值;

(Ⅱ)現(xiàn)從樣本年齡在的票友中組織了一次有關(guān)京劇知識的問答,每人回答一個問題,答對贏得一臺老年戲曲演唱機,答錯沒有獎品,假設(shè)每人答對的概率均為,且每個人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示票友們贏得老年戲曲演唱機的臺數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.

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【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.且 =(cos(A﹣B),﹣sin(A﹣B)), =(cosB,sinB),若 =﹣ . (Ⅰ)求sin A的值;
(Ⅱ)若a=4 ,b=5,求向量 方向上的投影.

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【題目】隨著手機的發(fā)展,“微信”越來越成為人們交流的一種方式.某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查,隨機抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如下表.

年齡(單位:歲)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

[65,75)

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

(Ⅰ)若以“年齡45歲為分界點”,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān);

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計

贊成

不贊成

合計

(Ⅱ)若從年齡在[25,35)和[55,65)的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進行追蹤調(diào)查,并給予其中3人“紅包”獎勵,求3人中至少有1人年齡在[55,65)的概率.

參考數(shù)據(jù)如下:

附臨界值表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

的觀測值: (其中

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【題目】元旦期間,某轎車銷售商為了促銷,給出了兩種優(yōu)惠方案,顧客只能選擇其中的一種,方案一:每滿萬元,可減千元;方案二:金額超過萬元(含萬元),可搖號三次,其規(guī)則是依次裝有個幸運號、個吉祥號的一個搖號機,裝有個幸運號、個吉祥號的二號搖號機,裝有個幸運號、個吉祥號的三號搖號機各搖號一次,其優(yōu)惠情況為:若搖出個幸運號則打折,若搖出個幸運號則打折;若搖出個幸運號則打折;若沒有搖出幸運號則不打折.

(1)若某型號的車正好萬元,兩個顧客都選中第二中方案,求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率;

(2)若你評優(yōu)看中一款價格為萬的便型轎車,請用所學知識幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.

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