Question

11．F是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點，A（1，1）為橢圓內(nèi)一定點，P為橢圓上一動點．則|PA|+|PF|的最小值與|PA|+2|PF|的最小值之和為（　�。�

• A． 4
• B． $\sqrt{5}$+3
• C． 7-$\sqrt{5}$
• D． 7+$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 ①設(shè)橢圓的左焦點為F'，連接PF'、AF'．可得：|PF|+|PF'|=2a=4．由此可得|PA|+|PF|=|PA|+（4-|PF'|）=4+（|PA|-|PF'|）．當(dāng)P、A、F'三點共線，且P在F'A延長線上時，|PA|-|PF'|取得最小值為：-|AF'|．
②由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，右準(zhǔn)線為x=4，|PA|+2|PF|即為|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|，根據(jù)橢圓的第二定義：過A作右準(zhǔn)線的垂線，交于B點，則|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|的最小值為|AB|．

解答 解：①設(shè)橢圓的左焦點為F'，連接PF'、AF'．
∵點P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上運動，
∴|PF|+|PF'|=2a=4
由此可得|PA|+|PF|=|PA|+（4-|PF'|）=4+（|PA|-|PF'|）
當(dāng)P、A、F'三點共線，且P在F'A延長線上時，|PA|-|PF'|取得最小值．
∴|PA|-|PF'|的最小值為：-|AF'|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1-0）^{2}}$=-$\sqrt{5}$
由此可得|PA|+|PF|的最大值為4-$\sqrt{5}$．
②∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，右準(zhǔn)線為x=4，
∴|PA|+2|PF|即為|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|，
∴根據(jù)橢圓的第二定義：
過A作右準(zhǔn)線的垂線，交于B點，
則|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|的最小值為|AB|．
∵|AB|=3，
∴|PA|+2|PF|的最小值為：3．
∴|PA|+|PF|的最小值與|PA|+2|PF|的最小值之和為7-$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、第二定義，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．