【題目】若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0,使得fx0+1)=fx0)+f(1)成立,則稱函數(shù)fx)有“漂移點”.

(1)用零點存在定理證明:函數(shù)fx)=x2+2x在[0,1]上有“漂移點”;

(2)若函數(shù)gx)=lg()在(0,+∞)上有“漂移點”,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)見證明;(2) [3-,2)

【解析】

(1)只需證明 hx)=fx+1)-fx)-f(1)=2(2x-1+x-1)=0在[0,1]上有解即可;(2)利用函數(shù)有飄移點x0,即lg=lg()+lg在(0,+∞)成立,將式子進行化簡,轉(zhuǎn)為方程有解問題.

(1)令hx)=fx+1)-fx)-f(1)=2(2x-1+x-1),

h(0)=-1,h(1)=2,∴h(0)h(1)<0,

hx)=0在(0,1)上至少有一實根x0,

故函數(shù)fx)=x2+2x在(0,1)上有“飄移點”.

(2)若gx)=lg()在(0,+∞)上有飄移點x0,由題意知a>0,

即有l(wèi)g=lg()+lg成立,即

整理得(2-a-2ax0+2-2a=0,

從而關(guān)于x的方程gx)=(2-ax2-2ax+2-2a在(0,+∞)上應(yīng)有實根x0,

當(dāng)a=2時,方程的根為,不符合題意,

當(dāng)0<a<2時,由于函數(shù)gx)的對稱軸,

可知,只需△=4a2-4(2-a)(2-2a)≥0,

,即有,

當(dāng)a>2時,由于函數(shù)gx)的對稱軸,

只需g(0)>0即2-2a>0,所以a<1,無解.

綜上,a的取值范圍是[3-,2).

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