【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求證:x1x2<a2.
【答案】(1)(e,+∞);(2)見解析
【解析】
(1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),確定實(shí)數(shù)a所需滿足的條件,解得結(jié)果,(2)先根據(jù)極值點(diǎn)解得a,再代入化簡不等式x1x2<a2,設(shè),構(gòu)造一元函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,最后構(gòu)造單調(diào)性證明不等式.
(1)∵函數(shù),∴x>0,f′(x)=x-alnx,
∵函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2.
∴f′(x)=x-alnx=0有兩個(gè)不等根,
令g(x)=x-alnx,則=,(x>0),
①當(dāng)a≤0時(shí),得g′(x)>0,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)在(0,+∞)上不可能有兩個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)a>0時(shí),由g′(x)>0,解得x>a,由g′(x)<0,解得0<x<a,
則g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,
要使函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則g(a)=a-alna<0,
解得a>e,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e,+∞).
(2)由x1,x2是g(x)=x-alnx=0的兩個(gè)根,
則,兩式相減,得a(lnx2-lnx1)=x2-x1),
即a=,即證x1x2<,
即證=,
由x1<x2,得=t>1,只需證ln2t-t-,
設(shè)g(t)=ln2t-t-,則g′(t)==,
令h(t)=2lnt-t+,∴h′(t)==-()2<0,
∴h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴h(t)<h(1)=0,
∴g′(t)<0,即g(t)在(1,+∞)上是減函數(shù),∴g(t)<g(1)=0,
即ln2t<t-2+在(1,+∞)上恒成立,∴x1x2<a2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠抽取了一臺設(shè)備在一段時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品,測量一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)計(jì)算該樣本的平均值,方差;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(2)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這臺設(shè)備在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均值,近似為樣本方差.任取一個(gè)產(chǎn)品,記其質(zhì)量指標(biāo)值為.若,則認(rèn)為該產(chǎn)品為一等品;,則認(rèn)為該產(chǎn)品為二等品;若,則認(rèn)為該產(chǎn)品為不合格品.已知設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品1000個(gè).
(i)用樣本估計(jì)總體,問該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品是否超過?
(ii)某公司向該工廠推出以舊換新活動,補(bǔ)足50萬元即可用設(shè)備換得生產(chǎn)相同產(chǎn)品的改進(jìn)設(shè)備.經(jīng)測試,設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)產(chǎn)品1200個(gè),生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率是,二等品的概率是,不合格品的概率是.若工廠生產(chǎn)一個(gè)一等品可獲得利潤50元,生產(chǎn)一個(gè)二等品可獲得利潤30元,生產(chǎn)一個(gè)不合格品虧損40元,試為工廠做出決策,是否需要換購設(shè)備?
參考數(shù)據(jù):①;②;③,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:,點(diǎn)A,B分別是橢圓E的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),直線AB與圓C:x2+y2=c2相離,其中c是橢圓的半焦距,P是直線AB上一動點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,若存在點(diǎn)P使得△PMN是等腰直角三角形,則橢圓離心率平方e2的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,將曲線向左平移個(gè)單位長度得到曲線.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)已知為曲線上的動點(diǎn), 兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì),某市2019年從1月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣.國際上通常用環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)來描述污染狀況,下表是某氣象觀測點(diǎn)記錄的連續(xù)4天里,該市AQI指數(shù)與當(dāng)天的空氣水平可見度的情況.
AQI指數(shù) | 900 | 700 | 300 | 100 |
空氣水平可見度 | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
(1)設(shè),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸方程;
(2)若某天該市AQT指數(shù),那么當(dāng)天空氣水平可見度大約為多少?
附:參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:線性回歸力程中,,,其中為樣本平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+m|.
(l)當(dāng)m=l時(shí),解不等式f(x)≥3;
(2)證明:對任意x∈R,2f(x)≥|m+1|-|m|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,已知每售出一箱酸奶的利潤為50元,當(dāng)天未售出的酸奶降價(jià)處理,以每箱虧損10元的價(jià)格全部處理完.若供不應(yīng)求,可從其它商店調(diào)撥,每銷售1箱可獲利30元.假設(shè)該超市每天的進(jìn)貨量為14箱,超市的日利潤為元.為確定以后的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了最近50天銷售該酸奶的市場日需求量,其頻率分布表如圖所示.
序號 | 分組 | 頻數(shù)(天) | 頻率 |
1 | 0.16 | ||
2 | 12 | ||
3 | 0.3 | ||
4 | |||
5 | 5 | 0.1 | |
合計(jì) | 50 | 1 |
(1)求,,,,的值;
(2)求關(guān)于日需求量的函數(shù)表達(dá)式;
(3)以50天記錄的酸奶需求量的頻率作為酸奶需求量發(fā)生的概率,估計(jì)日利潤在區(qū)間內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)若對任意的實(shí)數(shù)x1,x2,x3,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.[1,4)B.(1,4)C.()D.[]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點(diǎn),已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于M.N點(diǎn).
(1)若,的面積為,求拋物線方程;
(2)若A.M.F三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到直線n、m距離的比值.
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