【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓O上運(yùn)動(dòng),若△PAB面積的最大值為,橢圓O的離心率為.
(1)求橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)B點(diǎn)作圓E:的兩條切線,分別與橢圓O交于兩點(diǎn)C,D(異于點(diǎn)B),當(dāng)r變化時(shí),直線CD是否恒過(guò)某定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)直線恒過(guò)定點(diǎn).
【解析】
(1)根據(jù)已知條件列方程組,解方程組可得.
(2)設(shè)過(guò)B的切線方程,由d=r,利用韋達(dá)定理得兩切線PC、PD的斜率、關(guān)系,把直線、代入橢圓方程求出C、D點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)式建立CD方程,化簡(jiǎn)方程可得.
(1)由題可知當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),最大,此時(shí),
所以,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為:,即:,
因?yàn)橹本與圓:相切,所以,
即得.
設(shè)兩切線的斜率分別為,則,
設(shè),,
由,
∴,即,∴;
同理:,;
∴,
所以直線的方程為:.
整理得:,
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,是過(guò)定點(diǎn)且傾斜角為的直線;在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸,取相同單位長(zhǎng)度)中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫(xiě)出直線的參數(shù)方程,并將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與直線相交于不同的兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與拋物線C交于點(diǎn)D,E和點(diǎn)G,H,且,求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖的折線圖是某公司2018年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù),若從6月至11月這6個(gè)月中任意選2個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,則這2個(gè)月的利潤(rùn)(利潤(rùn)=收入﹣支出)都不高于40萬(wàn)的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與軸和y軸分別交于A,B兩點(diǎn),P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求△PAB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),M,P,Q是拋物線上三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),直線PM過(guò)點(diǎn)F,MQ∥OP,直線QP與MO交于點(diǎn)N.記點(diǎn)M,P,Q的縱坐標(biāo)分別為y0,y1,y2.
(1)證明:y0=y1﹣y2;
(2)證明:點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,動(dòng)圓:(圓心為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)),過(guò)原點(diǎn)作兩條射線與圓相切,分別交橢圓于,兩點(diǎn),且切線長(zhǎng)最小值時(shí),.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)判斷的面積是否為定值,若是,則求出該值;不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a>0,b>0,且a+b=2;
(1)若ab<恒成立,求m的取值范圍;
(2)若+≥|x-1|+|x+2|恒成立,求x的取值范圍.
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