【題目】設(shè)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),M,P,Q是拋物線上三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),直線PM過點(diǎn)F,MQ∥OP,直線QP與MO交于點(diǎn)N.記點(diǎn)M,P,Q的縱坐標(biāo)分別為y0,y1,y2.
(1)證明:y0=y1﹣y2;
(2)證明:點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為定值.
【答案】(1)證明見解析 (2) 證明見解析
【解析】
(1) 由兩直線平行的條件:斜率相等,運(yùn)用直線的斜率公式,結(jié)合點(diǎn)在拋物線上,化簡(jiǎn)可得結(jié)論(2) 因?yàn)橹本過點(diǎn),所以,求得直線,的方程,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,又因?yàn)橹本,交于點(diǎn),化簡(jiǎn)整理可得,的方程,分解因式即可得到定值.
證明:(1) 因?yàn)?/span>MQ∥OP,所以kMQ=kOP,
所以,所以y0=y1﹣y2;
(2) 因?yàn)橹本PM過點(diǎn)F,
可得,
所以y1y0=﹣4,
由(1)得y0=y1﹣y2,所以y1,y2y0,
因?yàn)?/span>OM:yx,
PQ:y﹣y1(x),
即4x﹣(y1+y2)y+y1y2=0,
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(m,n),又因?yàn)橹本QP,MO交于點(diǎn)N,
所以nm,4m﹣(y1+y2)n+y1y2=0,
可得y0,4m﹣(y0)n+()(y0)=0,
消去y0得2mn2+n2+8m3+4m2=0,
所以(2m+1)n2+4m2(2m+1)=0,
所以(2m+1)(n2+4m2)=0,
因?yàn)?/span>n2+4m2≠0,
所以2m+1=0,即m,
所以點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓,分別為其左、右焦點(diǎn),過的直線與此橢圓相交于兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為8,橢圓的離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)與點(diǎn),過的動(dòng)直線(不與軸平行)與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn).求證:
(i)三點(diǎn)共線.
(ii).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯,杯身曲線內(nèi)收,玲瓏嬌美,巧奪天工,是唐代金銀細(xì)作的典范之作.該杯型幾何體的主體部分可近似看作是雙曲線的右支與直線,,圍成的曲邊四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體,如圖分別為的漸近線與,的交點(diǎn),曲邊五邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積可由祖恒原理(祖恒原理:冪勢(shì)既同,則積不容異).意思是:兩等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等),據(jù)此求得該金杯的容積是_____.(杯壁厚度忽略不計(jì))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓O上運(yùn)動(dòng),若△PAB面積的最大值為,橢圓O的離心率為.
(1)求橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過B點(diǎn)作圓E:的兩條切線,分別與橢圓O交于兩點(diǎn)C,D(異于點(diǎn)B),當(dāng)r變化時(shí),直線CD是否恒過某定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)F1(﹣1,0)、F2(1,0)的連線的斜率之積為,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)已知雙曲線的漸近線方程為y=±x,且與橢圓1有公共焦點(diǎn),求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面,直線.給出下列命題:
① 若,則; ② 若,則;
③ 若,則; ④ 若,則.
其中是真命題的是_________.(填寫所有真命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且方程在內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中國(guó)詩詞大會(huì)》(第二季)亮點(diǎn)頗多,十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開場(chǎng)詩詞在聲光舞美的配合下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味.若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場(chǎng),且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場(chǎng)的排法有( )
A. 288種 B. 144種 C. 720種 D. 360種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的五面體中, , , ,四邊形是正方形,二面角的大小為.
(1)在線段上找出一點(diǎn),使得平面,并說明理由;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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