【題目】已知橢圓,動(dòng)圓:(圓心為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)),過(guò)原點(diǎn)作兩條射線與圓相切,分別交橢圓于,兩點(diǎn),且切線長(zhǎng)最小值時(shí),.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)判斷的面積是否為定值,若是,則求出該值;不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見(jiàn)解析
【解析】
(Ⅰ)由,所以當(dāng)OP最小時(shí)切線長(zhǎng)OT最小. 又切線長(zhǎng)取最小值時(shí),.,所以,,此時(shí),再建立OP關(guān)于的函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的最值情況可得.
(Ⅱ)先計(jì)算切線OM(或ON)斜率不存在時(shí)的面積,再計(jì)算OM、ON斜率都存在時(shí)設(shè)MN方程,直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理求MN,求O到直線MN的距離,把的面積用k,m表示,再結(jié)合OM,ON與圓相切找出k,m的關(guān)系,化簡(jiǎn)可得.
(Ⅰ)
,又 在橢圓上, 得,
橢圓C的方程為:
(Ⅱ)解:(1)當(dāng)切線OM或ON斜率不存在即圓P與y軸相切時(shí),易得,代入橢圓方程得:說(shuō)明圓P同時(shí)也與x軸相切,此時(shí)M、N分別為長(zhǎng)、短軸一個(gè)端點(diǎn),則的面積為
(2)當(dāng)切線OM、ON斜率都存在時(shí),設(shè)切線方程為:
由得:
整理得:
由韋達(dá)定理得:
設(shè),由于點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí),直線的斜率存在,
不妨設(shè)直線的方程為:
將與橢圓方程聯(lián)立可得:
代入有:整理得:
又
而原點(diǎn)O到直線MN的距離為
所以的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的離心率為,且過(guò)點(diǎn).
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N試問(wèn):在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓O上運(yùn)動(dòng),若△PAB面積的最大值為,橢圓O的離心率為.
(1)求橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)B點(diǎn)作圓E:的兩條切線,分別與橢圓O交于兩點(diǎn)C,D(異于點(diǎn)B),當(dāng)r變化時(shí),直線CD是否恒過(guò)某定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面,直線.給出下列命題:
① 若,則; ② 若,則;
③ 若,則; ④ 若,則.
其中是真命題的是_________.(填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且方程在內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,極軸與軸的非負(fù)半軸重合,且長(zhǎng)度單位相同,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線(為參數(shù)).其中.
(1)試寫(xiě)出直線的直角坐標(biāo)方程及曲線的普通方程;
(2)若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》(第二季)亮點(diǎn)頗多,十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞在聲光舞美的配合下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味.若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩(shī)詞排在后六場(chǎng),且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場(chǎng)的排法有( )
A. 288種 B. 144種 C. 720種 D. 360種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=1,且a3+1是a2+1與a4+2的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面上的三點(diǎn) 、 、 .
(1)求以 、 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn) 、 、 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)分別為 、 、 ,求以 、 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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