Question

在直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂、y₂）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，現(xiàn)有下列四個(gè)命題：
①已知兩點(diǎn)P（2，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），則d（P，Q）為定值；
②原點(diǎn)O到直線x-y+1=0上任一點(diǎn)P的直角距離d（O，P）的最小值為

2

2

；
③若|PQ|表示P、Q兩點(diǎn)間的距離，那么|PQ|≥

2

2

d（P，Q）；
④設(shè)點(diǎn)A（x，y）且x，y∈Z，若點(diǎn)A在過(guò)P（0，2）與Q（5，7）的直線上，且點(diǎn)A到點(diǎn)P與Q的直角距離之和等于10，那么滿足條件的點(diǎn)A只有5個(gè)．
其中是真命題的是

 

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：新定義

分析：先根據(jù)直角距離的定義分別表示出所求的問(wèn)題的表達(dá)式，然后結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可得到正確選項(xiàng)．

解答： 解：①已知P（2，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），則d（P，Q）=|2-sin²α|+|3-cos²α|=1+cos²α+2+sin²α=4為定值，正確；
②設(shè)P（x，y），O（0，0），則d（0，P）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示數(shù)軸上的x到1和0的距離之和，其最小值為1，故不正確；
③若|PQ|表示P、Q兩點(diǎn)間的距離，那么|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，因?yàn)?（a²+b²）≥（a+b）²，所以|PQ|≥

2

2

d（P，Q），正確；
④過(guò)P（0，2）與Q（5，7）的直線方程為y=x+2，點(diǎn)A到點(diǎn)P與Q的“直角距離”之和等于10，則|x-0|+|y-2|+|x-5|+|y-7|=2|x-0|+2|x-5|=10，所以|x|+|x-5|=5，所以0≤x≤5，因?yàn)閤∈Z，所以x=0，1，2，3，4，5，所以滿足條件的點(diǎn)A只有6個(gè)，故不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)之間的“直角距離”的定義，絕對(duì)值的意義，關(guān)鍵是明確P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)之間的“直角距離”的含義，同時(shí)考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算求解的能力．