Question

已知函數(shù)f（t）是奇函數(shù)且是R上的增函數(shù)，若x，y滿足不等式f（x²-2x）≤-f（y²-2y），則x²+y²的最大值是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,基本不等式

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可把f（x²-2x）≤-f（y²-2y）化為x²-2x≤-y²+2y，即（x-1）²+（y-1）²≤2，作出點（x，y）的軌跡圖形，x²+y²的幾何意義可求．

解答： 解：∵f（t）是奇函數(shù)，
∴f（x²-2x）≤-f（y²-2y）可化為f（x²-2x）≤f（-y²+2y），
又f（t）是R上的增函數(shù)，
∴x²-2x≤-y²+2y，即（x-1）²+（y-1）²≤2，
則（x，y）的軌跡表示坐標(biāo)平面內(nèi)以M（1，1）為圓心，

2

為半徑的圓面，
作出圖象如圖所示：
x²+y²表示以點（x，y）到原點距離的平方，
由圖可知x²+y²的最大值是(2

2

)2=8，
故答案為：8．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查圓的方程、兩點間距離公式，正確理解式子的幾何意義是解決該題的關(guān)鍵所在．