Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，即得正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0），∴f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）；
令f′（x）=0，得x=

1

a

；
∴在（0，

1

a

]上f′（x）≤0，在[

1

a

，+∞）上f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，

1

a

]上是減函數(shù)，在[

1

a

，+∞）上是增函數(shù)；
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴

1

a

≤1，又a＞0，∴a≥1；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來(lái)解答問(wèn)題，是中檔題．