Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)得，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c6/4/brnbp2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的解集為，即單調(diào)遞增區(qū)間；的解集為，即單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)，令，得，顯然是一個(gè)零點(diǎn)，記，求導(dǎo)得，易知時(shí)遞減；時(shí)遞增，故的最小值，又，故，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1個(gè).
試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f1/e/1bhgm2.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以．
令，得．當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

	↘		↗

故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．
（Ⅱ）解：結(jié)論：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn). 理由如下：
由，得方程， 顯然為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解. 
所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)