Question

【題目】△ABC的外接圓半徑R= ，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且 =
（1）求角B和邊長b；
（2）求S△ABC的最大值及取得最大值時的a，c的值，并判斷此時三角形的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），

∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，

∴2sinAcosB=sinA，可得cosB= ．

又∵B∈（0，π），∴ ，

由正弦定理 ，可得b=2RsinB=2 sin =3

（2）解：∵b=3， ，

∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得a2+c2﹣ac=9，

因此，ac+9=a2+c2≥2ac，可得ac≤9，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立，

∵S△ABC= = ，∴

由此可得：當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，S△ABC有最大值 ，此時a=b=c=3，可得△ABC是等邊三角形

【解析】（1）運(yùn)用兩角和的正弦公式將已知等式化簡整理，得到2sinAcosB=sin（B+C），根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得sin（B+C）=sinA＞0，從而得出cosB= ，可得 ，最后由正弦定理加以計(jì)算，可得邊b的長；（2）由b=3且 ，利用余弦定理算出a2+c2﹣ac=9，再根據(jù)基本不等式算出ac≤9．利用三角形的面積公式算出S△ABC= ，從而得到當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，S△ABC有最大值 ，進(jìn)而得到此時△ABC是等邊三角形．