給定橢圓 ,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個焦點為,且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(Ⅱ)點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點,過動點作直線,使得與橢圓都只有一個交點,試判斷是否垂直,并說明理由.
(Ⅰ),;(Ⅱ)垂直.

試題分析:(Ⅰ)利用焦點坐標(biāo)求出,利用短軸上的一個端點到的距離為,求出,解出,,寫出橢圓方程,通過得到的,求出準(zhǔn)圓的半徑,直接寫出準(zhǔn)圓方程;(Ⅱ)分情況討論:①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時,②當(dāng)的斜率都存在時.
試題解析:(Ⅰ)由題意可知,,則,,
所以橢圓方程為.                  2分
易知準(zhǔn)圓半徑為,
則準(zhǔn)圓方程為.                     4分
(Ⅱ)①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時,
不妨設(shè)的斜率不存在,因為與橢圓只有一個公共點,則其方程為,
當(dāng)的方程為時,此時與準(zhǔn)圓交于點,
此時經(jīng)過點且與橢圓只有一個公共點的直線是,
,顯然直線垂直;           6分
同理可證直線的方程為時,直線也垂直.      7分
②當(dāng)的斜率都存在時,設(shè)點,其中.
設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為
消去,得.
化簡整理得,.  因為,
所以有.                10分
設(shè)直線的斜率分別為,因為與橢圓只有一個公共點,
所以滿足方程,
所以,即垂直.                  12分
綜合①②知,垂直.                       13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的中心在原點,焦點F在軸上,離心率,點在橢圓C上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓兩點,且、、成等差數(shù)列,點M(1,1),求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如果過點的直線與橢圓交于兩點(點與點不重合),
①求的值;
②當(dāng)為等腰直角三角形時,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:的四個頂點恰好是一邊長為2,一內(nèi)角為的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若直線y =kx交橢圓C于A,B兩點,在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左焦點為,左、右頂點分別為,上頂點為,過三點作圓  
(Ⅰ)若線段是圓的直徑,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若圓的圓心在直線上,求橢圓的方程;
(Ⅲ)若直線交(Ⅱ)中橢圓于,交軸于,求的最大值  

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知、分別為橢圓的兩個焦點,點為其短軸的一個端點,若為等邊三角形,則該橢圓的離心率為(    )
A.  B. C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)分別是橢圓的左、右焦點,點P在橢圓上,若△為直角三角形,則△的面積等于__   __.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓與直線相交于兩點.
(1)若橢圓的半焦距,直線圍成的矩形的面積為8,
求橢圓的方程;
(2)若為坐標(biāo)原點),求證:;
(3)在(2)的條件下,若橢圓的離心率滿足,求橢圓長軸長的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)橢圓的四個頂點A、B、C、D, 若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點, 則橢圓的離心率為         __  

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