函數(shù)是[1,+∞)上的增函數(shù).
(Ⅰ)求正實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=x2+2x,在使g(x)≥M對定義域內(nèi)的任意x值恒成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最大值M=-1叫做f(x)=x2+2x的下確界,若函數(shù)的定義域為[1,+∞),根據(jù)所給函數(shù)g(x)的下確界的定義,求出當a=1時函數(shù)f(x)的下確界.
(Ⅲ)設b>0,a>1,求證:
【答案】分析:①當函數(shù)單調(diào)遞增時,其導數(shù)大于等于0恒成立求參數(shù)的范圍
②求下確界就是求函數(shù)的最小值利用導數(shù)求函數(shù)的最值
③證明不等式就是求最值
解答:解:(1)
對x∈[1,+∞)恒成立,
對x∈[1,+∞)恒成立
∴a≥1答:
正實數(shù)a的取值范圍為a≥1
(2)由(1)可知a=1時,函數(shù)f(x)是定義域[1,+∞)上的增函數(shù),
故f(x)min=f(1)=0,
f(x)≥M恒成立
∴M≤f(x)min=0
∴M的最大值為0,
∴當a=1時函數(shù)f(x)的下確界為0.
答:當a=1時函數(shù)f(x)的下確界是0
(3)取,∵,
由(1)知在[1,+∞)上是增函數(shù),

,

點評:導數(shù)的應用①知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 一般轉化成道函數(shù)恒大于等于0 或小于等于0
②證明不等式轉化成函數(shù)的最值,若含著對數(shù)或指數(shù)一般用導數(shù)求最值.
練習冊系列答案
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(08年北京四中理) (13分)已知:函數(shù)

   (1)若上是增函數(shù),求:實數(shù)a的取值范圍;

   (2)若的極值點,求上的最小值和最大值.

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(08年宣武區(qū)質量檢一)(13分)

已知函數(shù) 

(1)       若上是減函數(shù),求的最大值;

(2)       若的單調(diào)遞減區(qū)間是,求函數(shù)y=圖像過點的切線與兩坐標軸圍成圖形的面積。

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是定義在D上的函數(shù),若存在區(qū)間,使函數(shù)上的值域恰為,則稱函數(shù)k型函數(shù)給出下列說法:

不可能是k型函數(shù);

②若函數(shù)1型函數(shù),則的最大值為;

③若函數(shù)3型函數(shù),則

④設函數(shù)(x0)k型函數(shù),則k的最小值為

其中正確的說法為 (填入所有正確說法的序號)

 

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(本小題14分)已知函數(shù).

(1)若上的最大值為,求實數(shù)的值;

(2)若對任意,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)在(1)的條件下,設,對任意給定的正實數(shù),曲線 上是否存在兩點、,使得是以為坐標原點)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?請說明理由。

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆湖南省高二下學期期中文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù).

(1)證明上是減函數(shù);

(2)當時,求的最大值和最小值.

 

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