在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.
(1)+y2=1; (2)y=x+或y=-x-.
解析試題分析:(1)由于橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,知其中心在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸就是兩坐標(biāo)軸,所以由已知可直接得到半焦距c及短半軸b的值,然后由 求得的值,進(jìn)而就可寫出橢圓的方程;(2)由已知得,直線l的斜率顯然存在且不等于0,故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m,然后聯(lián)立直線方程與橢圓C1的方程,消去y得到關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程,由直線l同時(shí)與橢圓C1相切知,其判別式等于零得到一個(gè)關(guān)于k,m的方程;再聯(lián)立直線l與拋物線C2的方程,消去y得到關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程,由直線l同時(shí)與拋物線C2相切知,其判別式又等于零,再得到一個(gè)關(guān)于k,m的方程;和前一個(gè)方程聯(lián)立就可求出k,m的值,從而求得直線l的方程.
試題解析:(1)因?yàn)闄E圓C1的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),
所以c=1.將點(diǎn)P(0,1)代入橢圓方程=1,
得=1,即b=1. 所以a2=b2+c2=2.
所以橢圓C1的方程為+y2=1.
(2)由題意可知,直線l的斜率顯然存在且不等于0,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,由消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
因?yàn)橹本l與橢圓C1相切,
所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.
整理,得2k2-m2+1=0, ①
由消y,得
k2x2+(2km-4)x+m2=0.
∵直線l與拋物線C2相切,
∴Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理,得km=1, ②
聯(lián)立①、②,得或
∴l(xiāng)的方程為y=x+或y=-x-.
考點(diǎn):1.橢圓的方程;2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過和點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義:我們把橢圓的焦距與長軸的長度之比即,叫做橢圓的離心率.若兩個(gè)橢圓的離心率相同,稱這兩個(gè)橢圓相似.
(1)判斷橢圓與橢圓是否相似?并說明理由;
(2)若橢圓與橢圓相似,求的值;
(3)設(shè)動(dòng)直線與(2)中的橢圓交于兩點(diǎn),試探究:在橢圓上是否存在異于的定點(diǎn),使得直線的斜率之積為定值?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓G:經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B,過橢圓外一點(diǎn)(m,0)()傾斜角為的直線L交橢圓與C、D兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn),求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線:,在此拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是3.
(1)求此拋物線的方程;
(2)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn).是否存在這樣的,使得拋物線上總存在點(diǎn)滿足,若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點(diǎn),且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),以為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的面積.
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