橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

(1);(2)證明詳見(jiàn)解析,.

解析試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn),利用橢圓的離心率和左焦點(diǎn)到點(diǎn)P的距離列出方程組,解出基本量a,b,c,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問(wèn),用直線與橢圓聯(lián)立,消參得到關(guān)于x的方程,利用韋達(dá)定理得到,由于AB為直徑的圓過(guò)橢圓右頂點(diǎn) A2(2,0) ,所以,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,將前面的式子都代入,得到 或 m = -2k,經(jīng)驗(yàn)證都符合題意,則分別求出定點(diǎn)坐標(biāo),再驗(yàn)證,最終得到結(jié)論.
試題解析:(1)由題: ①
左焦點(diǎn) (-c,0) 到點(diǎn) P(2,1) 的距離為:②               2分
由①②可解得c =" 1" , a =" 2" , b 2 = a 2-c 2 = 3.                               3分   
∴所求橢圓 C 的方程為.               4分
(2)設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2),將 y =" kx" + m代入橢圓方程得
(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0.
,,           6分
且y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + m.
∵AB為直徑的圓過(guò)橢圓右頂點(diǎn) A2(2,0) ,所以.              7分
所以 (x1-2,y1)·(x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m)
= (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4
= (k 2 + 1)·-(km-2)·+ m 2 + 4 =" 0" .                        10分
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴ 或 m = -2k 都滿足 △ > 0.         12分
若 m = -2k 時(shí),直線 l 為 y = kx-2k =" k" (x-2) ,恒過(guò)定點(diǎn) A2(2,0),不合題意舍去;   13分
時(shí),直線 l 為, 恒過(guò)定點(diǎn)  .          14分

考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)橢圓C: (a>b>0)的離心率為,過(guò)原點(diǎn)O斜率為1的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),橢圓右焦點(diǎn)F到直線l的距離為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P是橢圓上異于M,N外的一點(diǎn),當(dāng)直線PM,PN的斜率存在且不為零時(shí),記直線PM的斜率為k1,直線PN的斜率為k2,試探究k1·k2是否為定值?若是,求出定值;若不是,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)橢圓C:的離心率,右焦點(diǎn)到直線1的距離,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線,與橢圓C分別交于A、B兩點(diǎn),證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值,并求弦AB長(zhǎng)度的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知拋物線C: 的焦點(diǎn)為F,ABQ的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C上,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),.(1)若M,求拋物線C方程;(2)若的常數(shù),試求線段長(zhǎng)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=2,E,F(xiàn),M,N分別是矩形四條邊的中點(diǎn),G,H分別是線段ON,CN的中點(diǎn).
(1)證明:直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓W:上;
(2)設(shè)直線l:與橢圓W:有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,直線l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S,T,求的最大值及取得最大值時(shí)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,且斜率為的直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)及點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),交橢圓于點(diǎn)P、Q.
(。┤魸M足為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的面積;
(ⅱ)若直線與兩坐標(biāo)軸都不垂直,點(diǎn)軸上,且使的一條角平分線,則稱點(diǎn)為橢圓的“特征點(diǎn)”,求橢圓的特征點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.
(1)求曲線的方程;
(2)曲線在點(diǎn)處的切線軸交于點(diǎn).直線分別與直線軸交于點(diǎn),以為直徑作圓,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,試探究:當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是                   

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同步練習(xí)冊(cè)答案