【題目】已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切.
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知點(diǎn)A、B為動(dòng)直線與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn),問:在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得為定值?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)定值為
【解析】試題分析:(Ⅰ)由e=,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切,求出a,b,由此能求出橢圓的方程.
(Ⅱ)由,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積,結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點(diǎn)E,使為定值,定點(diǎn)為().
試題解析:
(Ⅰ)由e=,得=,即c=a,①
以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2+y2=a2,
此圓與直線2x﹣+6=0相切,∴a==,
代入①得c=2,(4分)
∴b2=a2﹣c2=2,∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)由,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,(6分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∴,,
根據(jù)題意,假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m,0),使得為定值,
則有=(x1﹣m,y1)(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2
=
=(k2+1)
=(k2+1)﹣(2k2+m)+(4k2+m2)
=,
要使上式為定值,即與k無關(guān),則應(yīng)有3m2﹣12m+10=3(m2﹣6),
即m=,此時(shí)=為定值,定點(diǎn)為().
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