【題目】如圖,在直三棱柱中,平面側(cè)面,且

(1)求證:

(2)若直線與平面所成角的大小為,求銳二面角的大小.

【答案】見解析

【解析】(1)如圖,取的中點,連接.

因為,所以.

由平面側(cè)面,且平面側(cè)面,

平面. ………………(3分)

平面,所以,

因為三棱柱是直三棱柱,則底面,

所以

,從而側(cè)面,又側(cè)面,

………………(6分)

(2)解法一:連接,由(1)可知平面,則在平面內(nèi)的射影.

即為直線與平面所成的角,則.

在等腰直角中,,且點中點,

,又,,

過點于點,連接,由(1)知平面,則,又,

即為二面角的一個平面角. ………………(9分)

在直角中,,

,,

又二面角為銳二面角,,

即二面角的大小為 ………………(12分)

解法二(向量法):由(1)知底面,所以以點為原點,以所在直線分別為, 軸建立空間直角坐標系.

,則,,,,,.

設平面的一個法向量,由,得.

,得,則.

設直線與平面所成的角為,則,

所以,

解得,

又設平面的一個法向量為,同理可得.

設銳二面角的大小為,則,

,得.

銳二面角的大小為 ………………(12分)

【命題意圖】本小題主要考查線線垂直,線面垂直,二面角等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,并考查應用向量知識解決立體幾何問題的能力.

練習冊系列答案
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