【題目】在橢圓上任取一點(diǎn)（不為長(zhǎng)軸端點(diǎn)），連結(jié)、，并延長(zhǎng)與橢圓分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，已知的周長(zhǎng)為8，面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，當(dāng)不是橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率之積是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，值為.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合的周長(zhǎng)為8，求出的值，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積公式，橢圓的范圍，面積的最大值為.可以求出的關(guān)系，進(jìn)而求出的值，最后求出橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用解方程組，求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，最后通過(guò)斜率公式，計(jì)算出直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率之積是定值.

（1）因?yàn)?/span>的周長(zhǎng)為8，所以有

設(shè)，因?yàn)?/span>面積的最大值為.所以的最大值為，由橢圓的范圍，當(dāng)時(shí)，面積最大，因此有，而，因?yàn)?/span>，所以，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）當(dāng)不是橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，因此.

直線(xiàn)的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，得：

，

，，

同理直線(xiàn)的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，得：

，

，

為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，矩形是某生態(tài)農(nóng)莊的一塊植物栽培基地的平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路（寬度不計(jì)）經(jīng)過(guò)該矩形區(qū)域，其中都在矩形的邊界上.已知，（單位：百米），小路將矩形分成面積分別為，（單位：平方百米）的兩部分，其中，且點(diǎn)在面積為的區(qū)域內(nèi)，記小路的長(zhǎng)為百米.

（1）若，求的最大值；

（2）若，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年上半年我國(guó)多個(gè)省市暴發(fā)了“非洲豬瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降，一時(shí)間豬肉價(jià)格暴漲，其他肉類(lèi)價(jià)格也跟著大幅上揚(yáng)，嚴(yán)重影響了居民的生活.為了解決這個(gè)問(wèn)題，我國(guó)政府一方面鼓勵(lì)有條件的企業(yè)和散戶(hù)防控疫情，擴(kuò)大生產(chǎn)；另一方面積極向多個(gè)國(guó)家開(kāi)放豬肉進(jìn)口，擴(kuò)大肉源，確保市場(chǎng)供給穩(wěn)定.某大型生豬生產(chǎn)企業(yè)分析當(dāng)前市場(chǎng)形勢(shì)，決定響應(yīng)政府號(hào)召，擴(kuò)大生產(chǎn)決策層調(diào)閱了該企業(yè)過(guò)去生產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)，就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數(shù)量之間的關(guān)系”進(jìn)行研究.現(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：

生豬存欄數(shù)量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

（1）研究員甲根據(jù)以上數(shù)據(jù)認(rèn)為與具有線(xiàn)性回歸關(guān)系，請(qǐng)幫他求出關(guān)于的線(xiàn).性回歸方程（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）

（2）研究員乙根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出與的回歸模型：.為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，請(qǐng)完成以下任務(wù)：

①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.01元）（備注：稱(chēng)為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差）；

生豬存欄數(shù)量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

模型甲

估計(jì)值

殘差

模型乙

估計(jì)值

3.2

2.4

2

1.76

1.4

殘差

0

0

0

0.14

0.1

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過(guò)比較的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.

（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，生豬存欄數(shù)量達(dá)到1萬(wàn)頭時(shí)，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.5元；生豬存欄數(shù)量達(dá)到1.2萬(wàn)頭時(shí)，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.2元若按（2）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一頭豬的平均成本，問(wèn)該生豬存欄數(shù)量選擇1萬(wàn)頭還是1.2萬(wàn)頭能獲得更多利潤(rùn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.（利潤(rùn)=收入-成本）

參考公式：.

參考數(shù)據(jù)：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了調(diào)查中學(xué)生每天玩游戲的時(shí)間是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)其日均玩游戲的時(shí)間繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）求所調(diào)查學(xué)生日均玩游戲時(shí)間在分鐘的人數(shù)；

（2）將日均玩游戲時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱(chēng)為“游戲迷”，已知“游戲迷”中女生有6人；

①根據(jù)已知條件，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“游戲迷”和性別關(guān)系；

非游戲迷

游戲迷

合計(jì)

男

女

合計(jì)

②在所抽取的“游戲迷”中按照分層抽樣的方法抽取10人，再在這10人中任取9人進(jìn)行心理干預(yù)，求這9人中男生全被抽中的概率.

附：（其中為樣本容量）.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且所在直線(xiàn)的斜率之積等于，記頂點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，且為的重心（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：的面積為定值，并求出該定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)(其中是常數(shù)，且)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為.

（1）求的值；

（2）若存在(其中是自然對(duì)數(shù)的底)，使得成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為.令.

（1）若.

①當(dāng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②設(shè)，，試比較與的大小？并證明你的結(jié)論.

（2）問(wèn)集合中最多有多少個(gè)元素？并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F分別在邊AB，BC上(如圖1)，且BE=BF，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′(如圖2).

（1）求證：A′D⊥EF；

（2）BFBC時(shí)，求點(diǎn)A′到平面DEF的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案