【題目】已知的兩個頂點的坐標分別為,,且所在直線的斜率之積等于,記頂點的軌跡為.
(Ⅰ)求頂點的軌跡的方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于兩點,點在曲線上,且為的重心(為坐標原點),求證:的面積為定值,并求出該定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)證明見解析,定值為.
【解析】
(Ⅰ)設(shè),根據(jù)題意列方程即可求解.
(Ⅱ)設(shè),,,由為的重心,可得,從而,,將直線與橢圓方程聯(lián)立整理利用韋達定理求出點坐標,代入橢圓方程可得,再利用弦長公式以及三角形的面積公式即可求解.
(Ⅰ)設(shè),
因為點的坐標為,所以直線的斜率為
同理,直線的斜率為
由題設(shè)條件可得,.
化簡整理得,頂點的軌跡的方程為:.
(Ⅱ)設(shè),,,
因為為的重心,所以,
所以,,
由得,
,,
,,∴,
又點在橢圓上,所以,
∴,
因為為的重心,所以是的倍,
,
原點到直線的距離為,
.
所以,
所以,的面積為定值,該定值為.
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【題目】已知,分別為雙曲線的左、右焦點,點P是以為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點,若線段的中點Q在C的漸近線上,則C的兩條漸近線方程為__________.
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【題目】在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)為曲線上的動點,點在線段上,且滿足,求點的軌跡的直角坐標方程;
(2)設(shè)點的極坐標為,點在曲線上,求面積的最大值.
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【題目】在平面直角坐標系中,以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),曲線的極坐標方程為:.且兩曲線與交于兩點.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè),若成等比數(shù)列,求的值.
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【題目】已知圓,點,是圓上一動點,點在線段上,點在半徑上,且滿足.
(1)當在圓上運動時,求點的軌跡的方程;
(2)設(shè)過點的直線與軌跡交于點(不在軸上),垂直于的直線交于點,與軸交于點,若,求點橫坐標的取值范圍.
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【題目】在橢圓上任取一點(不為長軸端點),連結(jié)、,并延長與橢圓分別交于點、兩點,已知的周長為8,面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)坐標原點為,當不是橢圓的頂點時,直線和直線的斜率之積是否為定值?若是定值,請求出這個定值;若不是定值,請說明理由.
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【題目】如圖,在菱形中,沿對角線將△折起,使之間的距離為若分別為線段上的動點
(1)求線段長度的最小值;
(2)當線段長度最小時,求直線與平面所成角的正弦值
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)若直線與曲線至多只有一個公共點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若直線與曲線相交于,兩點,且,的中點為,求點的軌跡方程.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,點的極坐標為,直線的極坐標方程為.
(1)求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程;
(2)若是曲線上的動點,為線段的中點,求點到直線的距離的最大值.
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