【題目】已知函數(shù)(其中是常數(shù),且),曲線在處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)若存在(其中是自然對數(shù)的底),使得成立,求的取值范圍;
(3)設(shè),若對任意,均存在,使得方程有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1).(2).(3)
【解析】
(1)求出在處的導數(shù),利用斜率和函數(shù)值建立等式關(guān)系,則可求出的值. (2)由條件可知,原題等價于在上有解,設(shè),即,求導求函數(shù)的最值,從而求出的取值范圍. (3)通過求導分析的單調(diào)性和最值,分類討論求出的取值范圍.
(1),由題知,且,
解得;
(2)由(1)知,因為存在,使得,
即,設(shè),則需,
,設(shè),則在上恒成立,
即單調(diào)遞增,又因為,所以在上恒成立,
即單調(diào)遞增,所以,
令,解得;
(3),,
①當時,對任意,易知方程均僅有唯一解,
且當時,,單調(diào)遞增,
當時,,單調(diào)遞減,
故方程最多有兩個不同的實數(shù)解,所以不符合題意;
② 當時,若,則恒成立,單調(diào)遞增,
方程最多只有一個實數(shù)解,不符題意,
所以對任意,應(yīng)有,即,
此時,易知方程在上有兩個不同的實數(shù)根,
因為,不妨取,則有,列表如下:
極大值 | 極小值 |
由表可知,的極大值為,
因為,所以,
又因為,且,所以,
因為,所以必然存在,
使得方程在區(qū)間上均有一個實數(shù)解,符合題意;
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中一個寓言故事,通過講述已知烏鴉喝水的故事,告訴人們遇到困難要運用智慧,認真思考才能讓問題迎刃而解的道理,如圖所示,烏鴉想喝水,發(fā)現(xiàn)有一個錐形瓶,上面部分是圓柱體,下面部分是圓臺,瓶口直徑為厘米,瓶底直徑為厘米,瓶口距瓶頸為厘米,瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為厘米,現(xiàn)將顆石子投入瓶中,發(fā)現(xiàn)水位線上移厘米,若只有當水位線到達瓶口時烏鴉才能喝到水,則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是( )
A.顆B.顆C.顆D.顆
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若對任意的,都有恒成立,求的最小值;
(2)設(shè),若為曲線上的兩個不同的點,滿足,且,使得曲線在點處的切線與直線平行,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市一中學高三年級統(tǒng)計學生的最近20次數(shù)學周測成績(滿分150分),現(xiàn)有甲乙兩位同學的20次成績?nèi)缜o葉圖所示:
(1)根據(jù)莖葉圖求甲乙兩位同學成績的中位數(shù),并據(jù)此判斷甲乙兩位同學的成績誰更好?
(2)將同學乙的成績的頻率分布直方圖補充完整;
(3)現(xiàn)從甲乙兩位同學的不低于140分的成績中任意選出2個成績,設(shè)選出的2個成績中含甲的成績的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】在橢圓上任取一點(不為長軸端點),連結(jié)、,并延長與橢圓分別交于點、兩點,已知的周長為8,面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)坐標原點為,當不是橢圓的頂點時,直線和直線的斜率之積是否為定值?若是定值,請求出這個定值;若不是定值,請說明理由.
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【題目】已知橢圓:的右頂點為,離心率為,點在橢圓上,點與點關(guān)于原點對稱.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求經(jīng)過點,且和軸相切的圓的方程;
(3)若,是橢圓上異于,的兩個點,且,點在直線的上方,試判斷的平分線是否經(jīng)過軸上的一個定點?若是,求出該定點坐標;若不是,請說明理由.
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【題目】2020年春,新型冠狀病毒在我國湖北武漢爆發(fā)并訊速蔓延,病毒傳染性強并嚴重危害人民生命安全,國家衛(wèi)健委果斷要求全體人民自我居家隔離,為支援湖北武漢新型冠狀病毒疫情防控工作,各地醫(yī)護人員紛紛逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社區(qū)為保障居民的生活不受影響,由社區(qū)志愿者為其配送蔬菜、大米等生活用品,記者隨機抽查了男、女居民各100名對志愿者所買生活用品滿意度的評價,得到下面的2×2列聯(lián)表.
特別滿意 | 基本滿意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被調(diào)查的男性居民中有5個年輕人,其中有2名對志愿者所買生活用品特別滿意,現(xiàn)在這5名年輕人中隨機抽取3人,求至多有1人特別滿意的概率.
(2)能否有99%的把握認為男、女居民對志愿者所買生活用品的評價有差異?
附:
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【題目】嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點43分左右,嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道,如圖中③所示,其近月點與月球表面距離為100公里,遠月點與月球表面距離為400公里,已知月球的直徑約為3476公里,對該橢圓有下述四個結(jié)論:
(1)焦距長約為300公里;
(2)長軸長約為3988公里;
(3)兩焦點坐標約為;
(4)離心率約為.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】已知曲線,,則下面結(jié)論正確的是( )
A.把上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線
B.把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線
C.把上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線
D.把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線
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