Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N^*，總有2a_n+1，2S_n，a_n²成等差數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且b_n=

1

an•an+1

，求證：Tn＜

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于2a_n+1，2S_n，a_n²成等差數(shù)列，可得4Sn=2an+1+

a

2 n

，利用遞推式可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，根據(jù)題意可得a_n-a_n-1=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）解：∵2a_n+1，2S_n，a_n²成等差數(shù)列，
∴4Sn=2an+1+

a

2 n

，
當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn-1=2an-1+1+

a

2 n-1

，
∴4a_n=4S_n-4S_n-1=2an+1+

a

2 n

-(2an-1+1+

a

2 n-1

)，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
當(dāng)n=1時(shí)，4a1=2a1+1+

a

2 1

，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）證明：b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

(n∈N*)．
∴Tn＜

1

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．