【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

(1) 將的值代入，再求出函數(shù)的最小值，即可證明；

(2)對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)可得函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)，確定為負(fù)故符合題意，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)，再對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，同時(shí)利用奇偶性可得當(dāng)時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)定理取一個(gè)特值，判斷出不合題意，得出的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，

所以的定義域?yàn)?/span>R,且故為偶函數(shù)．

當(dāng)時(shí),，

記，所以．

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，

即在上單調(diào)遞增，

故，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

因?yàn)?/span>為偶函數(shù),所以當(dāng)時(shí),.

（2）①當(dāng)時(shí)，，令，解得，

所以函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故符合題意；

③因?yàn)?/span>，所以是偶函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，故是的零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，記，則.

1）當(dāng)時(shí)，，

故在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，即，

故在單調(diào)遞增，故

所以在沒(méi)有零點(diǎn).

因?yàn)?/span>是偶函數(shù),所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，

即時(shí)，，故在單調(diào)遞減，，

又，所以，

由零點(diǎn)存在性定理知在上有零點(diǎn)，又因?yàn)?/span>是的零點(diǎn)，

故不符合題意；

綜上所述，a的取值范圍為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線(xiàn)段上.

(1)求證：；

(2)若是正三角形，求三棱柱的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四邊形為矩形，，，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若三棱錐的體積記為，四棱錐的體積記為，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)

（I）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的參數(shù)方程；

（Ⅱ）求的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，（其中是的導(dǎo)數(shù)），求的最小值；

（2）設(shè)，若有零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】圖（）是某品牌汽車(chē)年月銷(xiāo)量統(tǒng)計(jì)圖，圖（）是該品牌汽車(chē)月銷(xiāo)量占所屬汽車(chē)公司當(dāng)月總銷(xiāo)量的份額統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A.該品牌汽車(chē)年全年銷(xiāo)量中，月份月銷(xiāo)量最多

B.該品牌汽車(chē)年上半年的銷(xiāo)售淡季是月份，下半年的銷(xiāo)售淡季是月份

C.年該品牌汽車(chē)所屬公司月份的汽車(chē)銷(xiāo)量比月份多

D.該品牌汽車(chē)年下半年月銷(xiāo)量相對(duì)于上半年，波動(dòng)性小，變化較平穩(wěn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了鼓勵(lì)職員工作熱情，某公司對(duì)每位職員一年來(lái)的工作業(yè)績(jī)按月進(jìn)行考評(píng)打分；年終按照職員的月平均值評(píng)選公司最佳職員并給予相應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì).已知職員一年來(lái)的工作業(yè)績(jī)分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示：

（1）根據(jù)職員的業(yè)績(jī)莖葉圖求出他這一年的工作業(yè)績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）若記職員的工作業(yè)績(jī)的月平均數(shù)為.

①已知該公司還有6位職員的業(yè)績(jī)?cè)?/span>100以上，分別是，，，，，，在這6人的業(yè)績(jī)里隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，求恰有1個(gè)數(shù)據(jù)滿(mǎn)足（其中）的概率；

②由于職員的業(yè)績(jī)高，被公司評(píng)為年度最佳職員，在公司年會(huì)上通過(guò)抽獎(jiǎng)形式領(lǐng)取獎(jiǎng)金.公司準(zhǔn)備了9張卡片，其中有1張卡片上標(biāo)注獎(jiǎng)金為6千元，4張卡片的獎(jiǎng)金為4千元，另外4張的獎(jiǎng)金為2千元.規(guī)則是：獲獎(jiǎng)職員需要從9張卡片中隨機(jī)抽出3張，這3張卡片上的金額數(shù)之和就是該職員所得獎(jiǎng)金.記職員獲得的獎(jiǎng)金為（千元），求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），，為直線(xiàn)上距離為的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)且不在直線(xiàn)上．

（1）求曲線(xiàn)的普通方程及直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程．

（2）求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為銳角的外心，且三邊與面積滿(mǎn)足，若（其中是實(shí)數(shù)），則的最大值是（ ）

A.B.C.D.

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