Question

【題目】拋物線上縱坐標為的點到焦點的距離為2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如圖，為拋物線上三點，且線段與軸交點的橫坐標依次組成公差為1的等差數(shù)列，若的面積是面積的，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】

試題本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì)、斜率公式、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，將縱坐標-p代入拋物線中先找到橫坐標，再利用拋物線的定義，列出點M到焦點的距離，解出P和；第二問，設(shè)出A，B，C三點坐標，分軸和與軸不垂直分別進行討論，當與軸不垂直時，設(shè)出直線MB的方程，利用面積的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為點到直線的距離的比例關(guān)系，列出距離的等式，解出參量，得到直線MB的方程

試題解析：（1）解：設(shè)， 則，，

由拋物線定義，得所以． 5分

（2）由（1）知拋物線方程為，．

①設(shè)，，（均大于零)

，，與軸交點的橫坐標依次為． 6分

當軸時，直線的方程為，則，不合題意，舍去． 7分

②與軸不垂直時，，

設(shè)直線的方程為，即，

令得2，同理2，2， 9分

因為依次組成公差為1的等差數(shù)列，所以組成公差為2的等差數(shù)列．

設(shè)點到直線的距離為，點到直線的距離為，

因為，所以=2，

所以

得，即，所以，

所以直線的方程為：12分

解法二：（1）同上．

（2）由（1）知拋物線方程為，．

由題意，設(shè)與軸交點的橫坐標依次為

設(shè)，（均大于零）． 6分

①當軸時，直線的方程為，則，不合題意，舍去． 7分

②與軸不垂直時，

設(shè)直線的方程為，即，

同理直線的方程為，

由得

則所以， 10分

同理，設(shè)點到直線的距離為，點到直線的距離為， 因為，所以=2，

所以

化簡得，即，

所以直線的方程為：12分