【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點(diǎn),且A1F∥平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是( )
A.{t| }
B.{t| ≤t≤2}
C.{t|2 }
D.{t|2 }
【答案】D
【解析】解:設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G,連接AG、EG,則G為BC的中點(diǎn) 分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N,連接AM、MN、AN,則
∵A1M∥D1E,A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,
∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE,
∵A1M、MN是平面A1MN內(nèi)的相交直線
∴平面A1MN∥平面D1AE,
由此結(jié)合A1F∥平面D1AE,可得直線A1F平面A1MN,即點(diǎn)F是線段MN上上的動點(diǎn).
設(shè)直線A1F與平面BCC1B1所成角為θ
運(yùn)動點(diǎn)F并加以觀察,可得
當(dāng)F與M(或N)重合時,A1F與平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1 , 此時所成角θ達(dá)到最小值,滿足tanθ= =2;
當(dāng)F與MN中點(diǎn)重合時,A1F與平面BCC1B1所成角達(dá)到最大值,滿足tanθ= =2
∴A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍為[2,2 ]
故選:D
設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G,連接AG、EG,則G為BC的中點(diǎn).分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N,連接AM、MN、AN,可證出平面A1MN∥平面D1AE,從而得到A1F是平面A1MN內(nèi)的直線.由此將點(diǎn)F在線段MN上運(yùn)動并加以觀察,即可得到A1F與平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置,由此不難得到A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為等差數(shù)列,其公差為﹣2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng),Sn為{an}的前n項(xiàng)和,n∈N* , 則S10的值為( )
A.﹣110
B.﹣90
C.90
D.110
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【題目】已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為.過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),若, ,且的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2) 設(shè)橢圓在點(diǎn)處的切線記為直線,點(diǎn)在上的射影分別為,過作的垂線交軸于點(diǎn),試問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制,會產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,次品數(shù)P(萬件)與日產(chǎn)量x(萬件)之間滿足關(guān)系: 已知每生產(chǎn)l萬件合格的元件可以盈利2萬元,但每生產(chǎn)l萬件次品將虧損1萬元.(利潤=盈利一虧損)
(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤T(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù);
(2)當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x定為多少時獲得的利潤最大,最大利潤為多少?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),求a的取值范圍.
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【題目】將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C.
(1)寫出C的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線l:2x+y﹣2=0與C的交點(diǎn)為P1 , P2 , 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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【題目】已知不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈,則
(1)z=x2+y2的最小值為 .
(2)若函數(shù)y=|2x﹣1|+m的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
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【題目】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.
一次購物量 | 1至4件 | 5至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件及以上 |
顧客數(shù)(人) | x | 30 | 25 | y | 10 |
結(jié)算時間(分鐘/人) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.
(Ⅰ)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.
(注:將頻率視為概率)
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【題目】已知函數(shù) ,其中 (為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若函數(shù)對任意都成立,求的最大值.
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