【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣b,

又g′(x)=ex﹣2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e,

∴①當(dāng) 時(shí),則2a≤1,g′(x)=ex﹣2a≥0,

∴函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,g(x)min=g(0)=1﹣b;

②當(dāng) ,則1<2a<e,

∴當(dāng)0<x<ln(2a)時(shí),g′(x)=ex﹣2a<0,當(dāng)ln(2a)<x<1時(shí),g′(x)=ex﹣2a>0,

∴函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,ln(2a)]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[ln(2a),1]上單調(diào)遞增,

g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b;

③當(dāng) 時(shí),則2a≥e,g′(x)=ex﹣2a≤0,

∴函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(1)=e﹣2a﹣b,

綜上:函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為


(2)解:由f(1)=0,e﹣a﹣b﹣1=0b=e﹣a﹣1,又f(0)=0,

若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,由(1)知當(dāng)a≤ 或a≥ 時(shí),函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào),不可能滿足“函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間”這一要求.

,則gmin(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1

令h(x)= (1<x<e)

= ,∴ .由 >0x<

∴h(x)在區(qū)間(1, )上單調(diào)遞增,在區(qū)間( ,e)上單調(diào)遞減,

= = <0,即gmin(x)<0 恒成立,

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間

,所以e﹣2<a<1,

綜上得:e﹣2<a<1


【解析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)得g(x),再求出g(x)的導(dǎo)數(shù),對(duì)它進(jìn)行討論,從而判斷g(x)的單調(diào)性,求出g(x)的最小值;(2)利用等價(jià)轉(zhuǎn)換,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,所以g(x)在(0,1)上應(yīng)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即:方程有實(shí)數(shù)根,函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn),函數(shù)有零點(diǎn)才能正確解答此題./span>

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函數(shù)y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是(
A.
B.
C.
D.

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1)請(qǐng)把全程運(yùn)輸成本(元)表示為速度(海里/小時(shí))的函數(shù),并指明定義域;

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若函數(shù)處的切線平行于直線求實(shí)數(shù)a的值;

)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

)在()的條件下,若在上存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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A.{t| }
B.{t| ≤t≤2}
C.{t|2 }
D.{t|2 }

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A.45
B.50
C.55
D.60

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