Question

【題目】如圖，長(zhǎng)途車(chē)站P與地鐵站O的距離為千米，從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1，l2，經(jīng)測(cè)量，l1，l2的夾角為45°，OP與l1的夾角滿(mǎn)足tan＝（其中0＜θ＜)，現(xiàn)要經(jīng)過(guò)P修條直路分別與道路l1，l2交匯于A，B兩點(diǎn)，并在A，B處設(shè)立公共自行車(chē)停放點(diǎn)．

（1）已知修建道路PA，PB的單位造價(jià)分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價(jià)相等，求此時(shí)點(diǎn)A，B之間的距離；

（2）考慮環(huán)境因素，需要對(duì)OA，OB段道路進(jìn)行翻修，OA，OB段的翻修單價(jià)分別為n元/千米和n元/千米，要使兩段道路的翻修總價(jià)最少，試確定A，B點(diǎn)的位置．

Answer 1

【答案】（1）（2）要使OA，OB段道路的翻修總價(jià)最少，A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距點(diǎn)千米處.

【解析】

（1）以O為原點(diǎn)，直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，得到的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，

法一：由題意得,求得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案。

法二：由題意得2mPA＝mPB，求得，根據(jù)向量相等，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解。

（2）法一：由題意，得到造價(jià)的表達(dá)式，設(shè)，得到要使S最小，只要y最小，分類(lèi)討論，即可求解。

法二：作交OB于M，交y軸于點(diǎn)Q，作交OA于N，求得OQ＝1，進(jìn)而得到總造價(jià)，設(shè),要使S最小，只要y最小，即可求解。

以O為原點(diǎn)，直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)P（2t,t）,由OP=，得t=1，所以P（2,1）

法一：由題意得,所以BP=2PA,所以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，

有因?yàn)辄c(diǎn)B在直線上，所以B（3,3）

所以.

法二：由題意得2mPA＝mPB，所以.

設(shè)A（a，0）（a＞0），又點(diǎn)B在射線y＝x（x＞0）上，所以可設(shè)B（b，b）（b＞0），

由，得所以

所以.

答：A，B之間的距離為千米.

（2）法一：設(shè)總造價(jià)為S．則

設(shè),要使S最小，只要y最小

當(dāng)軸時(shí)，A（2，0），這時(shí)OA＝2,,

所以.

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB方程為，

令y＝0，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，所以,

令x＝y，得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>且，所以k＜0或k＞1,

此時(shí),

,

當(dāng)k＜0時(shí)，y在上遞減，在（-1,0）上遞增，

所以，此時(shí);

當(dāng)k＞1時(shí)，

綜上所述，要使OA，OB段道路的翻修總價(jià)最少，A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距點(diǎn)千米處.

法二：如圖，作交OB于M，交y軸于點(diǎn)Q

作交OA于N，困為P（2，1），所以O(shè)Q＝1

又因?yàn)椤螧OQ＝45°，所以,

所以,

由,得,

所以,

設(shè)總造價(jià)為S，則,

設(shè),要使S最小，只要y最小.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).

答：要使OA,OB段道路的翻修總價(jià)最少，位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距O點(diǎn)千米處.