Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，以點F為圓心且過點A的圓M與x軸正半軸交于點B，AB的延長線交C于點D，AF的延長線交C于點E．

（1）若點A的縱坐標為4，求圓M的方程；

（2）若線段AD的中點為G，求證：軸；

（3）的面積是否存在最小值？若存在，請求出此最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）; (2)見解析；(3)，理由見解析；

【解析】

（1）由題意求得點的坐標，求出圓心和半徑，寫出圓的方程；

（2）設出點的坐標，寫出的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得直線的方程，再由直線與拋物線方程聯(lián)立，利用中點坐標求得點的縱坐標，由此判斷軸；

（3）利用點的坐標表示的面積，利用基本不等式計算它的最小值．

解：（1）由題意，設點的坐標為 ，由，求得；又點的坐標為， ,∴圓的方程為 ；

（2）設，的方程為 ，代入

得 所以 即 ；

又 ，故點的坐標為 ；

直線的方程為 ，即 ，代入 ，可得 ；

∴ ，

故 ，所以軸。

（3）由（2）知， ，

又 ，可得，

∴的面積為

（當且僅當時取“”），

所以的面積存在最小值，且此最小值為．