Question

已知函數(shù)的圖像過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線的斜率是．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值；
（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）在上的最大值為；（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上．

解析試題分析：（1）求實(shí)數(shù)的值，由函數(shù)，由圖像過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，得，且根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，建立方程組，可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而可確定函數(shù)的解析式；（2）求在區(qū)間的最大值，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0a/5/yzvuf.png" style="vertical-align:middle;" />，由于是分段函數(shù)，可分段求最大值，最后確定最大值，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，，令，可得在上的最大值為，當(dāng)時(shí)，．對(duì)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論；（3）這是探索性命題，可假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)只能在軸兩側(cè)．設(shè)的坐標(biāo)，由此入手能得到對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，則 （1分）
依題意，得即，解得．     （3分）
（2）由（1）知，
①當(dāng)時(shí)令得或     （4分）
當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：

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