Question

岳陽(yáng)市臨港新區(qū)自2009年6月8日開(kāi)港來(lái)，吸引了一批投資過(guò)億元的現(xiàn)代工業(yè)和物流儲(chǔ)運(yùn)企業(yè)落戶(hù)．根據(jù)規(guī)劃，2025年新港將全部建成13個(gè)泊位，從2014年（第一年）開(kāi)始對(duì)其中某個(gè)子港口今后10年的發(fā)展規(guī)劃，有如下兩種方案：
方案甲：按現(xiàn)狀進(jìn)行運(yùn)營(yíng)．據(jù)測(cè)算，每年可收入800萬(wàn)元，但由于港口淤積日益嚴(yán)重，從明年開(kāi)始需投資進(jìn)行清淤，第一年投資50萬(wàn)元，以后逐年遞增20萬(wàn)元．
方案乙：從2014年起開(kāi)始投資4000萬(wàn)元進(jìn)港口改造，以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力．港口改造需用時(shí)4年，在此期間邊改造邊運(yùn)營(yíng)．據(jù)測(cè)算，開(kāi)始改造后港口第一年的收入為400萬(wàn)元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增長(zhǎng)50%，而后各年的收入都穩(wěn)定在第5年的水平上．
（Ⅰ）至少經(jīng)過(guò)多少年，方案乙能收回投資（累計(jì)總收益為正數(shù)）？
（Ⅱ）到哪一年，方案乙的累計(jì)總收益超過(guò)方案甲？（收益=收入-投資）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）設(shè)從明年開(kāi)始經(jīng)過(guò)第n年，方案乙的累計(jì)總收益為正數(shù)．在方案乙中，前4年的總收入為

400×(1-1．54)

1-1.5

=3250＜4000，故n必定不小于5，則由3250+4000×1.5⁴（n-4）＞4000，能求出n的最小值．
（II）設(shè)從明年開(kāi)始經(jīng)過(guò)n年方案甲與方案乙的累計(jì)總收益分別為y₁，y₂萬(wàn)元，則y₁=800-[50n+

1

2

n(n-1)×20]=-10n²+760n，當(dāng)n≤4時(shí)，則y₁＞0，y₂＜0，可得y₁＞y₂；當(dāng)n≥5時(shí)，y₂=3250+400×1.5⁴（n-4）-4000=2025n-8850，由此可得n的最小值．

解答： 解：（I）設(shè)從2014年開(kāi)始經(jīng)過(guò)n年，方案乙的累計(jì)總收益為正數(shù)．
在方案乙中，前4年的總收入為

400×(1-1．54)

1-1.5

=3250＜4000，
故n必定不小于4，則由3250+4000×1.5⁴（n-4）＞4000，解得n＞4

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，故n的最小值為5．
答：從2014開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)5年，方案乙能收回投資．
（II）設(shè)從2014年開(kāi)始經(jīng)過(guò)n年方案甲與方案乙的累計(jì)總收益分別為y₁，y₂萬(wàn)元，則
y₁=800-[50n+

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2

n(n-1)×20]=-10n²+760n
當(dāng)n≤4時(shí)，則y₁＞0，y₂＜0，可得y₁＞y₂．
當(dāng)n≥5時(shí)，y₂=3250+400×1.5⁴（n-4）-4000=2025n-8850
令y₁＜y₂，可得2025n-8850＞-10n²+760n，即n（2n+253）＞1770  
由7（14+253）＞1770，6（12+253）＜1770，可得n的最小值為7．
答：到2020年，方案乙的累計(jì)總收益超過(guò)方案甲．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要注意不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用．