Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸

為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在曲線上，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)直線參數(shù)方程消去參數(shù)，即可求出直線普通方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求出直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，再由點(diǎn)在曲線：上，列出方程組，求解，即可得出結(jié)果.

（Ⅰ）由消去參數(shù)，得，即，

所以直線的普通方程是．

由，得，

根據(jù)公式得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程是．

（Ⅱ）對于直線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），因?yàn)?/span>，所以直線的斜率是．

因?yàn)榍�線在處的切線與直線垂直，又曲線在處的切線與垂直，

所以直線與直線平行．

所以直線與直線的斜率相等．所以直線的斜率．

設(shè)點(diǎn)，則，整理得．

又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線：上，

所以其坐標(biāo)必然滿足曲線的方程：，代入得．

聯(lián)立解得或．

所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為或