Question

【題目】已知函數(shù)f（x）x2+ax+lnx（a∈R）

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2且|x1﹣x2|，求|f（x1）﹣f（x2）|的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）求導可得，再分，討論與0的大小關(guān)系，進而得出單調(diào)性情況；

（2）表示出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求其最大值即可.

（1），設(shè)μ（x）＝x2+ax+1，則μ（0）＝1＞0，對稱軸為，

①當，即a≥0時，在（0，+∞）上，＞0，f（x）是增函數(shù)；

②當，即a＜0時，＝a2﹣4＝0得a＝±2，

（i）當﹣2≤a＜0時，在（0，+∞）上，＞0，f（x）是增函數(shù)；

（ii）當a＜﹣2時，令＝0得，

在上，＞0，f（x）是增函數(shù)；

在上，＜0，f（x）是減函數(shù)；

（2）由（1）知，f（x）得兩個極值點x1，x2滿足x2+ax+1＝0，故x1+x2＝﹣a，x1x2＝1，

不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2，則f（x）在（x1，x2）上是減函數(shù)，

∴，

令，設(shè)函數(shù)，則，

∴h（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，

由，則，解得1＜x2≤2，故，

∴，

∴|f（x1）﹣f（x2）|的最大值為.