Question

【題目】已知四棱錐，底面為矩形，，，，為中點(diǎn)，．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)方法一:由推出,結(jié)合可推出,又,所以平面,進(jìn)而得證;方法二:由推出,從而有,結(jié)合可推出,又,所以平面,進(jìn)而得證;

(2)由勾股定理逆定理推出,結(jié)合可得平面,故以為原點(diǎn),方向?yàn)?/span>軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求出二面角的余弦值.

(1)方法一:

因?yàn)?/span>,,為中點(diǎn),

所以在中,,

在中,,

所以,所以,

又因?yàn)?/span>,

所以,所以,

又因?yàn)?/span>,,

所以平面,

又平面,所以平面平面.

方法二:

由題意可知:在中,,

在中,,即,

所以,

所以,

又因?yàn)?/span>,

所以,所以,

又因?yàn)?/span>,,

所以平面,

又平面,所以平面平面.

(2)因?yàn)?/span>,又,,

所以,所以,

又因?yàn)?/span>,且與相交,

所以平面,

故以為原點(diǎn),方向?yàn)?/span>軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則,,,,

所以,,,

設(shè)平面的一個法向量為,

由可得,

令,則,所以,

設(shè)平面的一個法向量為,

由可得,

令,則,所以,

所以,

由題意可知二面角為銳二面角,

所以二面角的余弦值為.