Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，是面積為4的直角三角形.

(1)求拋物線的方程；

(2)若為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過作的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則直線與拋物線是何種位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)相切，理由見解析.

【解析】

（1）由直角三角形及對(duì)稱性可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,解得點(diǎn)坐標(biāo),則可得到點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而利用三角形面積求得,即可得到拋物線方程；

（2）設(shè),則直線的斜率為,則可設(shè)直線的方程為,令,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得直線的斜率,利用導(dǎo)數(shù)得到拋物線在點(diǎn)處的切線斜率,即可判斷位置關(guān)系

(1)由題,為,是直角三角形,且,是拋物線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn),

所以,設(shè)原點(diǎn)為,則,

不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限,則設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立方程,解得,

所以,,

,

解得,

故拋物線的方程為

(2)相切,

由（1）得焦點(diǎn),

設(shè),則直線的斜率為,

所以直線的方程為,

令,得,所以點(diǎn),

則直線的斜率為,

由得,即拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為,

故直線與拋物線相切