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【題目】設兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線，

（1）當且僅當取何值時，直線經過拋物線的焦點F？證明你的結論；

（2）若，弦AB是否過定點，若過定點，求出該定點，若不過定點，說明理由.

【答案】（1），證明見解析 （2）過定點，（0,）

【解析】

(1)對直線的斜率是否存在進行討論，利用中垂線的性質列方程組求出直線的截距b的范圍，從而得出結論；

(2)設AB的方程為：y=kx+b，聯(lián)立方程組，根據根與系數的關系和求出b的值，從而得到定點的坐標.

解：（1）∵拋物線，即，

∴焦點為

(i)直線的斜率不存在時，顯然有

(ii)直線的斜率存在時，設為k，截距為b

即直線：y=kx+b，由已知得：

即的斜率存在時，不可能經過焦點

所以當且僅當=0時，直線經過拋物線的焦點F

（2）設直線：y=kx+b，

聯(lián)立方程組：

若，則

過定點（0,）. ，

因此直線AB過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，，是拋物線上關于軸對稱的兩點，點是拋物線準線與軸的交點，是面積為4的直角三角形.

(1)求拋物線的方程；

(2)若為拋物線上異于原點的任意一點，過作的垂線交準線于點，則直線與拋物線是何種位置關系？請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡．

案例：考察恒等式左右兩邊的系數．

因為右邊，

所以，右邊的系數為，

而左邊的系數為，

所以＝．

（2）求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求的值；

（2）估計這100名學生的平均成績（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”．請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數據：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，當時，有.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過橢圓右焦點的動直線與橢圓交于兩點，試問在鈾上是否存在與不重合的定點，使得恒成立？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.

（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；

（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“回文數”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3553等．顯然2位“回文數”共9個：11，22，33，…，99．現(xiàn)從9個不同2位“回文數”中任取1個乘以4，其結果記為X；從9個不同2位“回文數”中任取2個相加，其結果記為Y．

（1）求X為“回文數”的概率；

（2）設隨機變量表示X，Y兩數中“回文數”的個數，求的概率分布和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某個地區(qū)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水的年入流量（年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：十億立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超過12的年份有35年，超過12的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.

（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過12的概率；

（2）若水的年入流量與其蘊含的能量（單位：百億萬焦）之間的部分對應數據為如下表所示：

年入流量

6

8

10

12

14

蘊含的能量

1.5

2.5

3.5

5

7.5

用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；（回歸方程系數用分數表示）

（3）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系：

年入流量

發(fā)電機最多可運行臺數

1

2

3

若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？

附：回歸方程系數公式：，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知正方體的外接球O的半徑為，則過該正方體的三個頂點的平面截球O所得的截面的面積為（ ）

A.2π或B.3π或

C.2π或3πD.2π或3π或

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