【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.
【答案】(1)答案不唯一,具體見解析(2)
【解析】
(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)因式分解為,再對(duì)參數(shù)分類討論可得;
(2)依題意可得,當(dāng)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,不滿足條件;
當(dāng)時(shí),由(1)得在為增函數(shù),因?yàn)?/span>,.再對(duì),,三種情況討論可得.
解:(1)因?yàn)?/span>,所以,
即.
由,得,.
①當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
故在為增函數(shù).
②當(dāng)時(shí),,
由得或,由得;
所以在,為增函數(shù),在為減函數(shù).
③當(dāng)時(shí),,
由得或,由得;
所以在,為增函數(shù),在為減函數(shù).
綜上,當(dāng)時(shí),在為增函數(shù);
當(dāng)時(shí),在,為增函數(shù),在為減函數(shù);
當(dāng)時(shí),在,為增函數(shù),在為減函數(shù).
(2)因?yàn)?/span>,所以,
①當(dāng)時(shí),,在為增函數(shù),所以在至多一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí),由(1)得在為增函數(shù).
因?yàn)?/span>,.
(。┊(dāng)時(shí),,時(shí),,時(shí),;
所以在為減函數(shù),在為增函數(shù),.
故在有且只有一個(gè)零點(diǎn).
(ⅱ)當(dāng)時(shí),,,,使得,
且在為減函數(shù),在為增函數(shù).
所以,又,
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,在有且只有一個(gè)零點(diǎn).
又在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.
故當(dāng)時(shí),在有兩個(gè)零點(diǎn).
(ⅲ)當(dāng)時(shí),,,,使得,
且在為減函數(shù),在為增函數(shù).
因?yàn)?/span>在有且只有一個(gè)零點(diǎn)0,
若在有兩個(gè)零點(diǎn),則在有且只有一個(gè)零點(diǎn).
又,所以即,所以,
即當(dāng)時(shí)在有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,m的取值范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線E:()的焦點(diǎn)為F,圓C:,點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)時(shí),的面積為.
(1)求拋物線E的方程;
(2)若,過點(diǎn)P作圓C的兩條切線分別交y軸于M,N兩點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行,求a的值;
(Ⅱ)若在處取得極大值,求a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)a=2時(shí),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,,是拋物線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn),是面積為4的直角三角形.
(1)求拋物線的方程;
(2)若為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過作的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn),則直線與拋物線是何種位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球,n個(gè)黑球(m,n ,n 2),這些球除顏色外全部相同。現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出,并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3,……,m+n的抽屜內(nèi),其中第k次取球放入編號(hào)為k的抽屜(k=1,2,3,……,m+n).
(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;
(2)隨機(jī)變量x表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),E(x)是x的數(shù)學(xué)期望,證明
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合:
①對(duì)任意的,都有;
②存在常數(shù),使得對(duì)任意的、,都有.
(1)設(shè)函數(shù),,判斷函數(shù)是否屬于?并說明理由;
(2)已知函數(shù),求證:方程的解至多一個(gè);
(3)設(shè)函數(shù),,且,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),當(dāng)時(shí),有.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn),試問在鈾上是否存在與不重合的定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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