【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+ )=2
(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),

移項后兩邊平方可得 +y2=cos2α+sin2α=1,

即有橢圓C1 +y2=1;

曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+ )=2 ,

即有ρ( sinθ+ cosθ)=2 ,

由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0,

即有C2的直角坐標(biāo)方程為直線x+y﹣4=0


(2)

解:由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時,

|PQ|取得最值.

設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0,

聯(lián)立 可得4x2+6tx+3t2﹣3=0,

由直線與橢圓相切,可得△=36t2﹣16(3t2﹣3)=0,

解得t=±2,

顯然t=﹣2時,|PQ|取得最小值,

即有|PQ|= = ,

此時4x2﹣12x+9=0,解得x= ,

即為P( ,


【解析】(1)運用兩邊平方和同角的平方關(guān)系,即可得到C1的普通方程,運用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及兩角和的正弦公式,化簡可得C2的直角坐標(biāo)方程;(2)由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時,|PQ|取得最值.設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0,代入橢圓方程,運用判別式為0,求得t,再由平行線的距離公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐標(biāo).;本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,同時考查直線與橢圓的位置關(guān)系,主要是相切,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時,求該函數(shù)的值域;

(2)求不等式的解集;

(3)若對于恒成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 )的離心率為,以原點為圓心,橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)已知點為動直線與橢圓的兩個交點,問:在軸上是否存在定點,使得為定值?若存在,試求出點的坐標(biāo)和定值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列數(shù)列{an}的通項公式an(1)n(2n1)(nN*),Sn為其前n項和.

(1)S1S2,S3,S4的值;

(2)猜想Sn的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對于函數(shù),若存在實數(shù)對,使得等式對定義域中的任意都成立,則稱函數(shù)是“型函數(shù)”.

(1)若函數(shù)是“型函數(shù)”,且,求出滿足條件的實數(shù)對

(2)已知函數(shù).函數(shù)是“型函數(shù)”,對應(yīng)的實數(shù)對,當(dāng)時,.若對任意時,都存在,使得,試求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若a>b>1,0<c<1,則( 。
A.ac<bc
B.abc<bac
C.alogbc<blogac
D.logac<logbc

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在半徑為1的扇形AOB中(O為原點),.點Px,y)是上任意一點,則xy+x+y的最大值為( 。

A. B. 1 C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知向量=(2sinx,-1),=(sinx,3),若函數(shù)fx)=

(Ⅰ)求函數(shù)fx)的最小正周期;

(Ⅱ)求函數(shù)fx)的最大值及取得最大值時x的集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+blnx和的圖象在x=4處的切線互相平行.

(1)求b的值;

(2)求f(x)的極值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案