Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；

（2）求不等式的解集；

（3）若對(duì)于恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（1）利用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)值域；（2）利用換元法并結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)，即可求出不等式的解集；（3）將分離于不等式的一端，對(duì)另一端求它的最值，進(jìn)而可以求出的取值范圍。

（1）令，，則，

函數(shù)轉(zhuǎn)化為，，

則二次函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為，當(dāng)時(shí)，取到最大值為5，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>.

（2）由題得，令，

則，即,

解得或，

當(dāng)時(shí)，即，解得，

當(dāng)時(shí)，即，解得，

故不等式的解集為或.

（3）由于對(duì)于上恒成立，

令，，則

即在上恒成立，

所以在上恒成立，

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，也在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，它的最大值為，

故時(shí)，對(duì)于恒成立。