Question

將邊長(zhǎng)為2，一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形ABCD沿較短對(duì)角線BD折成四面體ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是 ．

①EF∥AB；

②EF⊥BD；

③EF有最大值，無(wú)最小值；

④當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，；

⑤AC垂直于截面BDE．

 

Answer 1

②④⑤

【解析】

試題分析：畫出圖形，利用翻折前后線面關(guān)系，角的關(guān)系，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)的正確性，把正確的選項(xiàng)找出來(lái)．

【解析】
如圖：由題意得，EF與AB是異面直線，故①不正確．

由等腰三角形的中線性質(zhì)得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，

又EF?面ACF，

∴EF⊥BD，故②正確．

EF是等腰三角形FAC的底邊上的中線，∴EF⊥AC，由于 FA=FC=，

斜邊AC的長(zhǎng)度不定，

故 EF無(wú)最大值，也無(wú)最小值，故③不正確．

當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，因?yàn)榈冗叀鰽BD的面積為定值，

故面CBD⊥面ABD時(shí)，CF為四面體的高，AC===，故④正確．

由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正確．

綜上，②④⑤正確，

故答案為 ②④⑤．