【題目】設(shè)M為滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合,存在實(shí)數(shù),使得.
(1)判斷是否為M中的元素,并說明理由;
(2)設(shè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知的圖象與的圖象交于點(diǎn),,證明:是中的元素,并求出此時(shí)的值(用表示).
【答案】(1)是;(2)[3﹣,3+];(3)x0=,證明見解析
【解析】
根據(jù)集合M的定義,可根據(jù)函數(shù)的解析式f(x0+1)=f(x0)+f(1)構(gòu)造方程,若方程有根,說明函數(shù)符合集合M的定義,若方程無根,說明函數(shù)不符合集合M的定義;
(2)設(shè)h(x)=∈M,則存在實(shí)數(shù)x,使h(x+1)=h(x)+h(1)成立,解出a的取值范圍即可;
(3)利用f(x0+1)=f(x0)+f(1)和y=2ex(x>)的圖象與y=為圖象有交點(diǎn),即對應(yīng)方程有根,與求出的值進(jìn)行比較即可解出x0.
解:(1)設(shè)g(x)為M中的元素,則存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1);
即(x+1)2=x2+1,∴x=0,
故g(x)=x2是M中的元素.
(2)設(shè)h(x)=∈M,則存在實(shí)數(shù)x,使h(x+1)=h(x)+h(1)成立;
即lg=lg+lg;
∴=;∴(a﹣2)x2+2ax+2a﹣2=0,
當(dāng)a=2時(shí),x=﹣;
當(dāng)a≠2時(shí),則△=4a2﹣4(a﹣2)(2a﹣2)≥0;
解得a2﹣6a+4≤0,∴3﹣≤a≤3+且a≠2;
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為:[3﹣,3+].
(3)設(shè)m(x)=ln(3x﹣1)﹣x2∈M,則m(x0+1)=m(x0)+m(1);
∴ln[3(x0+1)﹣1]﹣(x0+1)2=ln(3x0﹣1)﹣x02+ln2﹣1;
∴ln=2x0;
∴=;∴=2;
由于y=2ex(x>)的圖象與y=為圖象交于點(diǎn)(t,2et),
所以2et=;
令t=2x0,則2==;
即存在x0=,使得則m(x0+1)=m(x0)+m(1);
故m(x)=ln(3x﹣1)﹣x2是M中的元素,此時(shí)x0=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為奇函數(shù),為常數(shù).
(1)求證:是上的增函數(shù);
(2)若對于區(qū)間上的每一個(gè)值,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù),),以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程.
(1)①當(dāng)時(shí),寫出直線的普通方程;
②寫出曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn),設(shè)曲線與直線交于點(diǎn),求最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市的街道是相互垂直或平行的,如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐標(biāo)系,對兩點(diǎn)和,用以下方式定義兩點(diǎn)間距離:.如圖,學(xué)校在點(diǎn)處,商店在點(diǎn),小明家在點(diǎn)處,某日放學(xué)后,小明沿道路從學(xué)校勻速步行到商店,已知小明的速度是每分鐘1個(gè)單位長度,設(shè)步行分鐘時(shí),小明與家的距離為個(gè)單位長度.
(1)求關(guān)于的解析式;
(2)做出中函數(shù)的圖象,并求小明離家的距離不大于7個(gè)單位長度的總時(shí)長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)不等實(shí)根,求證:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),求線段的垂直平分線在軸截距的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫出曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,且,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地需要修建一條大型輸油管道通過120公里寬的沙漠地帶,該段輸油管道兩端的輸油站已建好,余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)。經(jīng)預(yù)算,修建一個(gè)增壓站的工程費(fèi)用為400萬元,鋪設(shè)距離為公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費(fèi)用為萬元。設(shè)余下工程的總費(fèi)用為萬元。
(I)試將表示成關(guān)于的函數(shù);
(II)需要修建多少個(gè)増壓站才能使總費(fèi)用最小?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是網(wǎng)格工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型:數(shù)字1出現(xiàn)在第1行;數(shù)字2,3出現(xiàn)在第2行,數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行;數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行;依此類推,若數(shù)字195在第m行從左至右算第n個(gè)數(shù)字,則為_______.
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