Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx（a≠0）與雙曲線y=

k

x

相交于點A、B．已知點B的坐標為（-2，-2），點A在第一象限內(nèi)且縱坐標為4．過點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）在拋物線y=ax²+bx的對稱軸上有一點Q，設(shè)w=BQ²+AQ²，試求出使w的值最小的點Q的坐標；
（3）在圖1的基礎(chǔ)上，點D是x軸上一點，且OD=4，連接CD、AD（如圖2），直線CD交y軸于點M，連接AM，動點P從點C出發(fā)，沿折線CAD方向以1個單位/秒的速度向終點D勻速運動，設(shè)△PMA的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點B的坐標代入雙曲線解析式求出k值，再求出點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出對稱軸為直線x=-

3

2

，得到點Q的橫坐標，然后設(shè)出點Q的坐標，再利用勾股定理列出w的表達式，整理成頂點式形式，然后寫出w最小值時的Q的坐標即可；
（3）先利用二次函數(shù)解析式求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線CD的解析式，令x=0求出點M的坐標，再分①點P在AC上時，表示出AP，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；②點P在AD上時，利用勾股定理列式求出AD，得到AD=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AM平分∠CAD，過點M作MN⊥AD于N，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得MN等于點M到AC的距離，再表示出AP，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點B（-2，-2），
∴

k

-2

=-2，
解得k=4，
∴雙曲線的解析式為y=

4

x

，
∵點A的縱坐標為4，
∴

4

x

=4，
解得x=1，
∴點A（1，4），
把點A、B代入拋物線y=ax²+bx（a≠0）得，

a+b=4 4a-2b=-2

，
解得

a=1 b=3

，
∴拋物線的解析式為y=x²+3x；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=-

3

2×1

=-

3

2

，
∵點Q在拋物線對稱軸上，
∴設(shè)點Q（-

3

2

，m），
則w=BQ²+AQ²，
=[-

3

2

-（-2）]²+[m-（-2）]²+（-

3

2

-1）²+（m-4）²，
=

1

4

+m²+4m+4+

25

4

+m²-8m+16，
=2m²-4m+26.5，
=2（m-1）²+24.5，
∵a=2＞0，
∴當m=1時，w有最小值24.5，
此時點Q的坐標為（-

3

2

，1）；

（3）∵直線AC∥x軸，A（1，4），
∴x²+3x=4，
解得x₁=1，x₂=-4，
∴點C的坐標為（-4，4），
∵OD=4，
∴點D的坐標為（4，0），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-4k+b=4 4k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直線CD的解析式為y=-

1

2

x+2，
當x=0時，y=2，
∴點M的坐標為（0，2），
∴點M到AC的距離為4-2=2，
∵點P的速度是1個單位/秒，
∴①點P在AC上時，AC=1-（-4）=1+4=5，
AP=AC-CP=5-t，
△PMA的面積為S=

1

2

（5-t）×2=-t+5（0≤t＜5），
②點P在AD上時，AD=

(1-4)2+(4-0)2

=5，
∴AC=AD=5，
∵C（-4，4），D（4，0），
∴點M是CD的中點，
∴AM平分∠CAD，
過點M作MN⊥AD于N，則MN=點M到AC的距離=2，
∵AP=t-AC=t-5，
∴△PMA的面積為S=

1

2

（t-5）×2=t-5（5＜t≤10），
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=

-t+5(0≤t＜5) t-5(5＜t≤10)

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，以及三角形的面積，（2）設(shè)出點Q的坐標，利用勾股定理列出算式是解題的關(guān)鍵，（3）根據(jù)點的坐標求出AC=AD，點M是CD的中點是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論．