Question

如圖，在等邊△ABC中，D是BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，F(xiàn)是BC的延長線上的一點(diǎn)，∠ADE=60°，∠ACF的平分線CE交DE于E，連接AE，設(shè)AB=1，AD=a，CD=mCE=n．

（1）DE=

 

（直接填空）；
（2）m+n=

 

（直接填空）；
（3）設(shè)△ADE的面積為S，則S的最小值是

 

（直接填空）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過D作DG∥AC交AB于G，得出∠3=∠1，再利用AAS得出△AGD≌△DCE，進(jìn)而得出答案；
（2）延長CE至P，使EP=CD，連接AP，利用等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AE，進(jìn)而得出∠ADC=∠AEP，再利用SAS得出△AEP≌△ADC得出即可；
（3）利用當(dāng)邊長AD最短時(shí)，△ADE的面積有最小值，而點(diǎn)A到BC所在的直線上的各點(diǎn)的連線中，以垂線段最短，故當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最短，進(jìn)而利用勾股定理得出AD的長，即可得出答案．

解答：證明：（1）過D作DG∥AC交AB于G，
則∠1=∠2，△GDB為等邊三角形，
∠AGD=∠DCE=120°，AG=DC．
又∵∠ADE=∠ACE=60°，∠4=∠5，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠1．
在△AGD和△DCE中，

∠3=∠1 ∠AGD=∠DCE AG=DC

，
∴△AGD≌△DCE（AAS），
∴AD=DE=a．
故答案為：a；

（2）延長CE至P，使EP=CD，連接AP．由（1）知，
∠ADE=60°，AD=DE，
∴△ADE為等邊三角形，
∴AD=AE．　
在四邊形ADCE中，∠DAE+∠DCE=60°+120°=180°，
∴∠ADC+∠AEC=180°，又∠AEP+∠AEC=180°，
∴∠ADC=∠AEP，
在△AEP和△ADC中，

AE=AD ∠AEP=∠ADC EP=DC

，
∴△AEP≌△ADC（SAS），
∴AP=AC∠P=∠ACD=60°，
∴△ACP為等邊三角形，
∴AC=CP，
∴AC=CP=CE+PE=CE+CD=n+m，
∴m+n=AC=1；
故答案為：1；

（3）因?yàn)椤鰽DE為等邊三角形，
當(dāng)邊長AD最短時(shí)，△ADE的面積有最小值．
而點(diǎn)A到BC所在的直線上的各點(diǎn)的連線中，以垂線段最短，
故當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最短，
此時(shí) AD=

AB2-BD2

=

1-( 1 2 )2

=

3

2

，
Smin=

3

4

AD2=

3 3

16

．
故答案為：

3 3

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出輔助線是解題關(guān)鍵．