Question

如圖1，△ABC和△CDE為等邊三角形．

（1）求證：BD=AE；
（2）若等邊△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到BC、EC在一條直線(xiàn)上時(shí)，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)給予證明；
（3）旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，若F為BD中點(diǎn)，G為AE中點(diǎn)，連接FG，求證：
①△CFG為等邊三角形；
②FG∥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCD即可；
（2）結(jié)論仍然成立，同（1）的方法證明；
（3）①由△ACE≌△BCD可證得△ACN≌△BCM，得出CM=CN；∠BCM=∠ACN，進(jìn)一步得出∴∠CMN=∠CNM=

180°-∠CMN

2

=60°，可證得結(jié)論；
②由△ACE≌△BCD可證得△DCF≌△ECG，得CF=CG，可進(jìn)一步得出∠CGF=∠CFG=∠DCE，結(jié)論得證．

解答：（1）證明：
∵等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，
∴AC=BC；CD=CE，∠ACE=∠DCE-∠ACD=60°-∠ACD=∠ACB-∠ACD=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

SC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，證明如下：
∵BC=AC；CD=CE，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+60°=∠ACD+∠ACB=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
（3）①∵△ACE≌△BCD，
∴∠CBM=∠CAN；AE=BD，
∵M(jìn)是BD中點(diǎn)，N是AE中點(diǎn)，
∴BM=AN，
又BC=AC，
∴△ACN≌△BCM，
∴CM=CN；∠BCM=∠ACN，
∴∠MCN=∠ACM+∠ACN=∠ACM+∠BCM=∠ACB=60°，
∴∠CMN=∠CNM=

180°-∠CMN

2

=60°，
∴△CMN是等邊三角形，
②∵△ACE≌BCD，
∴∠CDF=∠CEG，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCF=60°=∠ECG，
又CD=CE，
∴△DCF≌△ECG，
∴CF=CG，
∴∠CGF=∠CFG=

180°-∠FCG

2

=60°=∠DCE，
∴FG∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是能利用等邊三角形的性質(zhì)得到相等的線(xiàn)段和相等的角，從而證得三角形全等，進(jìn)一步證得結(jié)論．