如圖,已知直線y=x+8交x軸于A點,交y軸于B點,過A、0兩點的拋物線y=ax2+bx(a<O)的頂點C在直線AB上,以C為圓心,CA的長為半徑作⊙C.
(1)求拋物線的對稱軸、頂點坐標及解析式;
(2)將⊙C沿x軸翻折后,得到⊙C′,求證:直線AC是⊙C′的切線;
(3)若M點是⊙C的優(yōu)弧
ABO
(不與0、A重合)上的一個動點,P是拋物線上的點,且∠POA=∠AM0,求滿足條件的P點的坐標.
(1)如圖,由直線y=x+8圖象上點的坐標特征可知,A(-8,0),B(0,8)
∵拋物線過A、O兩點
∴拋物線的對稱點為x=-4
又∵拋物線的對稱點在直線AB上,
∴當x=-4時,y=4
∴拋物線的頂點C(-4,4)
4=16a-4b
0=64a-8b
,
解得
a=-
1
4
b=-2

∴拋物線的解析式為y=-
1
4
x2-2x;

(2)連接CC′、C′A
∵C、C′關(guān)于x軸對稱,設(shè)CC′交x軸于D,則CD⊥x軸,且CD=4,AD=4
△ACD為等腰直角三角形
∴△AC′D也為等腰直角三角形
∴∠CAC′=90°
∵AC過⊙C′的半徑C′A的外端點A
∴AC是⊙C′的切線;

(3)∵M點是⊙O的優(yōu)弧
ABO
上的一點,
∴∠AMO=∠ABO=45°,
∴∠POA=∠AMO=45°
當P點在x軸上方的拋物線上時,
設(shè)P(x,y),則y=-x,
又∵y=-
1
4
x2-2x
y=-x
y=-
1
4
x2-2x

解得
x1=0
y1=0
x2=-4
y2=4

此時P點坐標為(-4,4)當P點在x軸下方的拋物線時,設(shè)P(x,y)
則y=x,又∵y=-
1
4
x2
-2x
y=x
y=-
1
4
x2-2x

解得
x1=0
y1=0
x2=-12
y2=-12

此時P點的坐標為(-12,-12)
綜上所述,滿足條件的P點坐標為(-4,4)或(-12,-12)
練習(xí)冊系列答案
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拋物線y=ax2+bx+c,與x軸交于點A(-3,0),對稱軸為x=-1,頂點C到x軸的距離為2,求此拋物線的解析式.

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如圖,已知二次函數(shù)y=-
1
2
x2
+bx+c的圖象經(jīng)過A(2,0)、B(0,-6)兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C,連接BA、BC,求△ABC的面積.

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如圖,拋物線y=(x+1)2+k與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,-3);
(1)求拋物線的對稱軸及k的值;
(2)拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得|PB-PC|的值最大?若存在,求出點P的坐標;
(3)如果點M是拋物線在第三象限的一動點;當M點運動到何處時,M點到AC的距離最大?求出此時的最大距離及M的坐標.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)與雙曲線y=
k
x
相交于點A,B.已知點B的坐標為(-2,-2),點A在第一象限內(nèi),且tan∠AOx=4.過點A作直線ACx軸,交拋物線于另一點C.
(1)求雙曲線和拋物線的解析式;
(2)計算△ABC的面積;
(3)在拋物線上是否存在點D,使△ABD的面積等于△ABC的面積?若存在,請你寫出點D的坐標;若不存在,請你說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

現(xiàn)有鋁合金窗框料8米,準備用它做一個如圖所示的長方形窗架,一般來說,當窗戶總面積最大時,窗戶的透光最好.那么,要使這個窗戶透光最好,窗架的寬應(yīng)為多少米此時窗戶的總面積是多少平方米?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

取一張矩形的紙進行折疊,具體操作過程如下:
第一步:先把矩形ABCD對折,折痕為MN,如圖(1)所示;
第二步:再把B點疊在折痕線MN上,折痕為AE,點B在MN上的對應(yīng)點為B′,得Rt△AB′E,如圖(2)所示;
第三步:沿EB′線折疊得折痕EF,如圖(3)所示;利用展開圖(4)所示.

探究:
(1)△AEF是什么三角形?證明你的結(jié)論.
(2)對于任一矩形,按照上述方法是否都能折出這種三角形?請說明理由.
(3)如圖(5),將矩形紙片ABCD沿EF折疊,使點A落在DC邊上的點A′處,x軸垂直平分DA,直線EF的表達式為y=kx-k (k<0)
①問:EF與拋物線y=-
1
8
x2
有幾個公共點?
②當EF與拋物線只有一個公共點時,設(shè)A′(x,y),求
x
y
的值.

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如圖矩形OABC,AB=2OA=2n,分別以O(shè)A和OC為x、y軸建立平面直角坐標系,連接OB,沿OB折疊,使點A落在P處.過P作PQ⊥y軸于Q.
(1)求OD:OA的值;
(2)以B為頂點的拋物線:y=ax2+bx+c,經(jīng)過點D,與直線OB相交于E,過E作EF⊥y軸于F,試判斷2•PQ•EF與矩形OABC面積的關(guān)系,并說明理由.

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如圖,在矩形ABCD中,BD=20,AD>AB,設(shè)∠ABD=α,已知sinα是方程25x2-35x+12=0的一個實根,點E,F(xiàn)分別是BC,DC上的點,EC+CF=8,設(shè)BE=x,△AEF的面積等于y.
(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當E,F(xiàn)兩點在什么位置時,y有最小值并求出這個最小值.

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