如圖,拋物線y=(x+1)2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3);
(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及k的值;
(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得|PB-PC|的值最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如果點(diǎn)M是拋物線在第三象限的一動(dòng)點(diǎn);當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),M點(diǎn)到AC的距離最大?求出此時(shí)的最大距離及M的坐標(biāo).
(1)拋物線y=(x+1)2+k的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1,
把點(diǎn)C(0,-3)代入拋物線得,(0+1)2+k=-3,
解得k=-4;

(2)令y=0,則(x+1)2-4=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),
由三角形的三邊性質(zhì),|PB-PC|<BC,
∴當(dāng)點(diǎn)P、C、B在同一直線上時(shí),|PB-PC|的值最大,
此時(shí),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
k+b=0
b=-3

解得
k=3
b=-3

∴直線BC的解析式為y=3x-3,
當(dāng)x=-1時(shí),y=3×(-1)-3=-6,
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P(-1,-6),使得|PB-PC|的值最大;

(3)設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n(m≠0),
-3m+n=0
n=-3

解得
m=-1
n=-3

∴直線AC的解析式為y=-x-3,
過(guò)點(diǎn)M的直線與直線AC平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)距離最大,
此時(shí),過(guò)點(diǎn)M的直線解析式設(shè)為y=-x+b,
聯(lián)立
y=(x+1)2-4
y=-x+b
,
消掉y得,x2+3x-3-b=0,
△=32-4×1×(-3-b)=0,
解得b=-
21
4
,
過(guò)點(diǎn)M的直線解析式為,y=-x-
21
4
,
此時(shí),x1=x2=-
3
2

y1=y2=-
15
4
,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-
3
2
,-
15
4
),
設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線與x軸的交點(diǎn)為D,
則由-x-
21
4
=0,得x=-
21
4
,
∴AD=-3-(-
21
4
)=
9
4
,
∵A(-3,0),C(0,-3),
∴OA=OC,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴∠OAC=45°,
∵M(jìn)DAC,
∴∠ODM=∠OAC=45°,
∴直線MD與AC之間的距離=
9
4
×
2
2
=
9
2
8
,
即M點(diǎn)到AC的距離最大值為
9
2
8
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知:AC是⊙O的直徑,點(diǎn)A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A、B、O的二次函數(shù)的解析式;
(3)該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使四邊形PABO為梯形?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象開(kāi)口向下,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B,頂點(diǎn)A在直線y=x上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)證明:△AOB是等腰直角三角形;
(2)若△AOB的外接圓C的半徑為1,求該二次函數(shù)的解析式;
(3)對(duì)題(2)中所求出的二次函數(shù),在其圖象上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合),使得△POC是以PC為腰的等腰三角形,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知直線y=x+8交x軸于A點(diǎn),交y軸于B點(diǎn),過(guò)A、0兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx(a<O)的頂點(diǎn)C在直線AB上,以C為圓心,CA的長(zhǎng)為半徑作⊙C.
(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及解析式;
(2)將⊙C沿x軸翻折后,得到⊙C′,求證:直線AC是⊙C′的切線;
(3)若M點(diǎn)是⊙C的優(yōu)弧
ABO
(不與0、A重合)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P是拋物線上的點(diǎn),且∠POA=∠AM0,求滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(0,6),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1
(1)求拋物線的解析式;
(2)畫(huà)出拋物線的草圖;
(3)根據(jù)圖象回答:當(dāng)x取何值時(shí),y>0.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)的圖象過(guò)(0,3),(3,0),且對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的圖象的解析式;
(2)指出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)利用草圖分析,當(dāng)函數(shù)值y>0時(shí),x的取值范圍是多少.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)此二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P,求△ABP的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某通訊器材公司銷(xiāo)售一種市場(chǎng)需求較大的新型通訊產(chǎn)品.已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元,每年銷(xiāo)售該種產(chǎn)品的總開(kāi)支(不含進(jìn)價(jià))總計(jì)120萬(wàn)元.在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),年銷(xiāo)售量y(萬(wàn)件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試寫(xiě)出該公司銷(xiāo)售該種產(chǎn)品的年獲利z(萬(wàn)元)關(guān)于銷(xiāo)售單價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式(年獲利=年銷(xiāo)售額一年銷(xiāo)售產(chǎn)品總進(jìn)價(jià)一年總開(kāi)支).當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)x為何值時(shí),年獲利最大并求這個(gè)最大值;
(3)若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售獲利不低于40萬(wàn)元,借助(2)中函數(shù)的圖象,請(qǐng)你幫助該公司確定銷(xiāo)售單價(jià)的范圍.在此情況下,要使產(chǎn)品銷(xiāo)售量最大,你認(rèn)為銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在直角梯形ABCD中,∠C=90°,高CD=6cm(如圖1).動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),點(diǎn)P沿BA,AD,DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止.兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是1cm/s.而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C.設(shè)P,Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t(s)時(shí),△BPQ的面積為y(cm2)(如圖2).分別以x,y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系,已知點(diǎn)P在AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)時(shí),y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN.
(1)分別求出梯形中BA,AD的長(zhǎng)度;
(2)寫(xiě)出圖3中M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)分別寫(xiě)出點(diǎn)P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍),并在答題卷的圖4(放大了的圖3)中補(bǔ)全整個(gè)運(yùn)動(dòng)中y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象.

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