如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)與雙曲線y=
k
x
相交于點(diǎn)A,B.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-2),點(diǎn)A在第一象限內(nèi),且tan∠AOx=4.過點(diǎn)A作直線ACx軸,交拋物線于另一點(diǎn)C.
(1)求雙曲線和拋物線的解析式;
(2)計(jì)算△ABC的面積;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)D,使△ABD的面積等于△ABC的面積?若存在,請(qǐng)你寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)你說明理由.
(1)把點(diǎn)B(-2,-2)的坐標(biāo),代入y=
k
x

得:-2=
k
-2
,
∴k=4.
即雙曲線的解析式為:y=
4
x

設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,n).
∵A點(diǎn)在雙曲線上,
∴mn=4.①
又∵tan∠AOx=4,
n
m
=4,即n=4m.②
由①②,得:m2=1,
∴m=±1.
∵A點(diǎn)在第一象限,
∴m=1,n=4,
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,4)
把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx,得:
4=a+b
-2=4a-2b
,
解得a=1,b=3.
∴拋物線的解析式為:y=x2+3x;

(2)∵ACx軸,
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y=4,
代入y=x2+3x,得方程x2+3x-4=0,
解得x1=-4,x2=1(舍去).
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,4),且AC=5,
又∵△ABC的高為6,
∴△ABC的面積=
1
2
×5×6=15;

(3)存在D點(diǎn)使△ABD的面積等于△ABC的面積.
過點(diǎn)C作CDAB交拋物線于另一點(diǎn)D.
∵△ABD與△ABC同底等高,
∴△ABD的面積等于△ABC的面積,
因?yàn)橹本AB相應(yīng)的一次函數(shù)是:y=2x+2,且C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,4),CDAB,
所以直線CD相應(yīng)的一次函數(shù)是:y=2x+12.
解方程組
y=x2+3x
y=2x+12

∴x2+3x=2x+12,
即x=3或x=-4,
當(dāng)x=3時(shí),y=18,
當(dāng)x=-4時(shí),y=4,
x=3
y=18
x=-4
y=4
(不合題意,舍去),
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是(3,18).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1所示,已知直線y=kx+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C兩點(diǎn),拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn),點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)x=-
1
2
時(shí),y取最大值
25
4

(1)求拋物線和直線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn),且S△ABP:S△BPC=1:3,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)直線y=
1
2
x+a與(1)中所求的拋物線交于點(diǎn)M、N,兩點(diǎn),問:
①是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
②猜想當(dāng)∠MON>90°時(shí),a的取值范圍.(不寫過程,直接寫結(jié)論)
(參考公式:在平面直角坐標(biāo)系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),則M、N兩點(diǎn)之間的距離為|MN|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1,點(diǎn)A為拋物線C1:y=
1
2
x2-2的頂點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)直線AB交拋物線C1于另一點(diǎn)C
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖1,平行于y軸的直線x=3交直線AB于點(diǎn)D,交拋物線C1于點(diǎn)E,平行于y軸的直線x=a交直線AB于F,交拋物線C1于G,若FG:DE=4:3,求a的值;
(3)如圖2,將拋物線C1向下平移m(m>0)個(gè)單位得到拋物線C2,且拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,交x軸于點(diǎn)M,交射線BC于點(diǎn)N.NQ⊥x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)NP平分∠MNQ時(shí),求m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知直線y=x+8交x軸于A點(diǎn),交y軸于B點(diǎn),過A、0兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx(a<O)的頂點(diǎn)C在直線AB上,以C為圓心,CA的長為半徑作⊙C.
(1)求拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及解析式;
(2)將⊙C沿x軸翻折后,得到⊙C′,求證:直線AC是⊙C′的切線;
(3)若M點(diǎn)是⊙C的優(yōu)弧
ABO
(不與0、A重合)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P是拋物線上的點(diǎn),且∠POA=∠AM0,求滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

附加題:已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象G和x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)A,與y軸的交點(diǎn)為B(0,4),且ac=b.
(1)求該二次函數(shù)的解析表達(dá)式;
(2)將一次函數(shù)y=-3x的圖象作適當(dāng)平移,使它經(jīng)過點(diǎn)A,記所得的圖象為L,圖象L與G的另一個(gè)交點(diǎn)為C,求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線過點(diǎn)A(-1,0),B(0,6),對(duì)稱軸為直線x=1
(1)求拋物線的解析式;
(2)畫出拋物線的草圖;
(3)根據(jù)圖象回答:當(dāng)x取何值時(shí),y>0.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=x2-2mx+4m-8
(1)當(dāng)x≤2時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而減小,求m的取值范圍.
(2)以拋物線y=x2-2mx+4m-8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形AMN(M,N兩點(diǎn)在拋物線上),請(qǐng)問:△AMN的面積是與m無關(guān)的定值嗎?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)若拋物線y=x2-2mx+4m-8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),求整數(shù)m的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品,現(xiàn)有如下信息:
信息1:甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)之和是5元.
信息2:甲商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多1元,乙商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的2倍少1元.
信息3:按零售單價(jià)購買甲商品3件和乙商品2件,共付了19元.
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(Ⅰ)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)各是多少元?
(Ⅱ)該商品平均每天賣出甲商品500件和乙商品300件,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),甲、乙兩種商品零售單價(jià)分別降0.1元,這兩種商品每天可各多銷售100件,為了使每天獲取更大的利潤,商店決定把甲、乙兩種商品的零售單價(jià)都下降m元,在不考慮其他因素的條件下,當(dāng)m定為多少時(shí),才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤最大?每天的最大利潤是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上,邊OC在y軸的正半軸上,且AB=1,OB=
3
,矩形ABOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到矩形EFOD.點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A,E,D.
(1)判斷點(diǎn)E是否在y軸上,并說明理由;
(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在x軸的上方是否存在點(diǎn)P,點(diǎn)Q,使以點(diǎn)O,B,P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍,且點(diǎn)P在拋物線上?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P,點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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